Réponse :

Bonsoir

Explications étape par étape

1) a) f(0) =3

   b) f'(0) = -1

   c) On voit que la courbe C passe sous la tangente delta ,on ne peut donc pas dire que f(x) est convexe sur [0;6]

2) a) f'(x) = e^-x(a-ax-b)

   b) f(0) = 3 ⇔ (a×0+b)e^-0 = 3 ⇔b=3

       f'(0) =-1 ⇔ e^0(a-a×0-3) = -1 ⇔ a-3 = -1 ⇔ a = 2

f(x) = (2x+3)e^-x

   c) f'(x) = (-2x-1)e^-x

      f"(x) =(2x-1)e^-x

   d)f"(x) est négative sur ]-∞ ; 0.5] et positive sur [0.5 ; +∞[

Donc f(x) est concave sur  ]-∞ ;0.5] et convexe sur [0.5 ; +∞[

    e) f(x) change de convexité au point d'abscisse 0.5;la courbe C a donc un point d'inflexion de coordonnées (0,5 ; f(0.5))

 L'équation de la tangente en ce point est :

y = (-2e^-0,5)x + 5e^-0,5 (valeur exacte)

soit environ y = -1,21x +3,03 (valeur arrondie)