Bonjour, est ce qu'une personne pourrait me faire part de son aide s'il vous plait ???
C'est un exercice de Mathématiques sur les suites et les nombres complexes de Terminale S.
Merci beaucoup de votre aide.
C'est un exercice de Mathématiques sur les suites et les nombres complexes de Terminale S.
Merci beaucoup de votre aide.
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Bonjour,z₀ = 0 et zn+1 = λzn + i
1) z₁ = λz₀ + i = i
z₂ = λz₁ + i = λi + i = (λ + 1)i
z₃ = λz₂ + i = λ(λ + 1)i + i = (λ(λ + 1) + 1)i
2) Par récurrence :
n = 0 ⇒ (λ⁰ - 1)i/(λ - 1) = 0 = z₀
Hypothèse : Au rang n, zn = (λⁿ - 1)i/(λ - 1)
au rang n+1 : zn+1 = λzn + i
⇔ zn+1 = λ(λⁿ - 1)i/(λ - 1) + i
⇔ zn+1 = [λ(λⁿ - 1) + (λ - 1)]i/(λ - 1)
⇔ zn+1 = (λⁿ⁺¹ - 1)i/(λ - 1)
donc propriété héréditaire.
3) λ = i
a) z⁴ = (i⁴ - 1)i/(i - 1) = 0 (i⁴ = 1)
b) zn+4 = izn+3 + i
= i(zn+3 + 1)
= i(izn+2 + i + 1)
= -zn+2 - 1 + i
= -(izn+1 + i) - 1 + i
= -i(zn+1 + 1 - 1) - 1
= -izn+1 - 1
= -i(izn + i) - 1
= zn + 1 - 1
= zn
c)...
4) λ = 1 + i
z₀ = 0, z₁ = i,
z₂ = (λ + 1)i = (2 + i)i = -1 + 2i
z₃ = (λ(λ + 1) + 1)i = [(1 + i)(2 + i) + 1]i = (2 + 3i)i = -3 + 2i
z₄ = (1 + i)(-3 + 2i) + i = -5
5) bon, bah c'est tjs pareil...