Bonjour,
Exercice sur les logarithmes terminale ES. Je n’arrive pas à partir de la question 1c.
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on veut n > Ln2 / Ln(1+0,02)
n > Ln2 / Ln1,02
n > 35,003
on retiendra n = 36 ans de placement en banque !
je te laisse faire pour quelques autres taux,
et je te le refais pour taux = 6 % = 0,06 :
n > Ln2 / Ln1,06 donne n > 11,9 ; on retiendra n = 12 ans !
2a) Luca Pacioli ( complice des banquiers-escrocs de l' époque ! )
avait donc raison d' affirmer :" pour doubler un Capital placé à t % ,
il suffit d' attendre 72 / t années - environ ! "
puisque 72/2 = 36 ans et 72/6 = 12 ans .
2b) il suffirait de tracer la branche d' hyperbole d' équation y = 72 / x
pour trouver graphiquement et rapidement la durée nécessaire
de placement pour doubler son Capital placé en fonction
du taux de placement " x " (%) . je ne vois rien d' "étonnant"
dans la conjecture de Luca Pacioli ...
3a) attention : Ln 0,92 = - 0,08 environ !
3b) pour 0,9o < x < 1,1o ;
on peut admettre que Lnx est voisin de (x-1)
- avec une erreur inférieure à 5% !
3c) la dérivée de Lnx est 1/x ; donc le nombre dérivé pour x = 1 est 1 ;
d' où l' équation de la tangente au point ( 1 ; 0 ) est y = x - 1
Une courbe et sa tangente peuvent être confondues sur un petit
intervalle, donc Lnx se comporte presque comme (x-1) autour de x = 1 ;
la conjecture de la question 3b) était donc parfaitement justifiée !
3d) avec les taux proposés dans le début de ce devoir ( de 2 à 6 % ), on obtient des coefficients proches de 1 ( de 1,02 à 1,06 ), on peut donc se permettre de remplacer Ln(1+ t/100) par tout simplement (t/100)
3e) pour qu' un Capital placé à t % double,
il faudra donc attendre n années
avec n > Ln2 / (t/100)
n > 100 Ln2 / t
n > 69,315 / t
reprenons les taux extrêmes proposés dans le texte ( de 2 à 6 % ), cela donne n = 35 ans et n = 12 ans . Soit une erreur d' 1 an seulement pour le petit taux à 2 % !
La conjecture de Luca Pacioli était donc "meilleure" , ils sont forts ces Italiens ( surtout au XVème siècle ! ) .