Bonjour, j'ai besoin d'aide dans cet question. Merci en avance!
On pose d(x)= x**2 + (ln(x))**2
Etudier cette fonction sur ]0; +inf [ et montrer qu'elle admet un minimum pour une valeur de x = a
On pose d(x)= x**2 + (ln(x))**2
Etudier cette fonction sur ]0; +inf [ et montrer qu'elle admet un minimum pour une valeur de x = a
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Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape :
f(x)=x²+(ln x)² sur ]0; +oo[
Etude de cette fonction
Limites
si x tend vers 0+, f(x) tend vers 0+(-oo)²=+oo
si x tend vers +oo, f(x) tend vers +oo
Dérivée f'(x)=2x+2(1/x)lnx=(2x²+2ln x)/x =(2/x)(x²+lnx)
x étant >0 le signe de cette dérivée dépend du signe de x²+lnx
Soit g(x) =x²+lnx fonction auxiliaire sur ]0; +oo[ Etudions cette fonction.
Limites
si x tend vers 0+ g(x)=tend vers -oo
si x tend vers +oo, g(x) tend vers +oo
Dérivée g'(x)=2x+1/x
x étant>0, g'(x) est toujours >0 don g(x) est croissante
D'après le TVI g(x)=0 admet une et une seule solution "a"
On en déduit que f'(x) est <0 sur ]0; a[ et >0 sur ]a;+oo[
Tableau de signes de f'(x) et de variations de f(x)
x 0 a +oo
f'(x) - 0 +
f(x) +oo D. f(a) C +oo
f(x) admet donc un minimum pour x=a
par encadrement on voit que (3/5)<a<(4/5)