Réponse :

Explications étape par étape :

Bonjour

Partie A :

b) AK=AL+LK=3/5*AB

Donc KL=AL-3/5*AB

De plus BL=BA+AL=2CB donc AL=2CB+AB

On en déduit que KL=2CB+AB-3/5*AB=2/5*AB+2CB

IK=IA+AK

Or AI=AC/2 donc IA=-AC/2=-(AB+BC)/2=-AB/2+CB/2

Donc IK=-AB/2+CB/2+3/5*AB=-5AB/10+CB/2+6AB/10=AB/10+CB/2

KL=2/5*AB+2CB=4/10*AB+4/2*CB=4(AB/10+CB/2)=4IK

KL et IK sont colinéaires donc I, K et L sont alignés.

Partie B :

a) AI.AJ=IIAIIIxIIAJIIxCosθ

AI.AJ=√5α/2x√5α/2xCosθ=5α²Cosθ/4

b) AI=AB+BI et AJ=AD+DJ

AI.AJ=(AB+BI).(AD+DJ)=AB.AD+AB.DJ+BI.AD+BI.DJ

Or AB et AD sont orthogonaux donc AB.AD=0

De même, BI.DJ=0

De plus DJ=DC/2=AB/2 et BI=BC/2=AD/2

Donc AI.AJ=AB²/2+AD²/2=α²/2+α²/2=α²

c) On a donc 5α²Cosθ/4=α²

Donc 5Cosθ/4=1

Cosθ=4/5

et θ≈36,9°