Bonjour, j'ai besoin d'aide en math :3 Merci à ceux qui pourrons m'aider. Dans un repère orthonormé .... Pergunta de ideia deDesign971

May 2019 1 40 Report

Bonjour, j'ai besoin d'aide en math :3
Merci à ceux qui pourrons m'aider.

Dans un repère orthonormé (O;i;j) A est le point de cordonnée (1;2)
M est un point de coordonnée ( x; 0) où > 1, et N est le point d'intersection de la droite (AM) et de l'axe (0y)
Déterminer pour qu'elle(s) valeur(x) de x, l'aire du triangle OMN est minimale

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Commentaires Bonjour Design971

Figure en pièce jointe.

Soit T le projeté orthogonal du point A sur la droite (OM).

Par Thalès dans le triangle NOM,

$\dfrac{NO}{AT}=\dfrac{OM}{TM}\\\\\\\Longrightarrow\dfrac{NO}{AT}=\dfrac{OM}{OM-OT}\\\\\\\Longrightarrow\dfrac{NO}{2}=\dfrac{x}{x-1}\\\\\\\Longrightarrow\boxed{NO=\dfrac{2x}{x-1}}$

Or

$Aire_{Triangle\ OMN}=\dfrac{1}{2}\times OM\times ON\\\\\\Aire_{Triangle\ OMN}=\dfrac{1}{2}\times x\times\dfrac{2x}{x-1}\\\\\\\boxed{Aire_{Triangle\ OMN}=\dfrac{x^2}{x-1}}$

L'aire du triangle OMN est déterminée par une fonction f définie par $f(x)=\dfrac{x^2}{x-1}$

Etudions les variations de la fonction f définie sur ]1 + oo[

$f(x)=\dfrac{x^2}{x-1}\\\\f'(x)=\dfrac{(x^2)'\times(x-1)-x^2\times(x-1)'}{(x-1)^2}\\\\f'(x)=\dfrac{2x\times(x-1)-x^2\times1}{(x-1)^2}\\\\f'(x)=\dfrac{2x^2-2x-x^2}{(x-1)^2}\\\\f'(x)=\dfrac{x^2-2x}{(x-1)^2}\\\\\boxed{f'(x)=\dfrac{x(x-2)}{(x-1)^2}}\\\\\\\begin{array}{|c|ccccc|} x&1&&2&&+\infty\\x&&+&+&+&\\x-2&&-&0&+&\\(x-1)^2&&+&+&+&\\f'(x)&&-&0&+&\\f(x)&&\searrow&f(2)=4&\nearrow&\\ \end{array}$

Par conséquent, l'aire du triangle OMN est minimale si x = 2.

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