Réponse :

Explications étape par étape :

bonjour

1)

on sait que e^2x= e^x  ×  e^x

et   2e^x = e^x  +  e^x  

on met e^x en facteur

e^(x) [ e^x - 2 ] + 1

2)

a)

limite de f en -∞ = 1

car limite de e^(x) en - ∞  = 0  ( voir ton cours)

b)

limite de f en +∞ = + ∞

car limite de e^(x) en + ∞  = +∞  ( voir ton cours)

3)a

f'(x) = 2 e^(2x) - 2 e^(x)

f'(x) = 2( e^2x  - e^x) = 2e^x ( e^x - 1)

2 × e^x   toujours positif ( voir cours)

donc c'est le signe de e^x - 1  qui va déterminer le signe de f'(x)

b)

pour le tableau de variations

e^x - 1  ≥ 0 si e^x ≥ 1  donc si x ≥ 0   ( voir cours)

de -∞ à 0

f' négative  donc f décroissante

f'(0) = f(0) = 0  

de 0 à +∞

f' positive  donc f croissante

Réponse :

Bonjour

1) f(x) = e²ˣ - 2eˣ + 1

f(x) = (eˣ)² - 2eˣ + 1

f(x) = eˣ(eˣ - 2) + 1

2) a) lim eˣ en -∞ = 0

lim (eˣ - 2) en -∞ = -2

Par produit, lim eˣ(eˣ - 2) en -∞ = 0

donc lim eˣ(eˣ - 2) + 1 = 1

lim f(x) en -∞ = 0

b) lim eˣ en +∞ = +∞

lim (eˣ - 2) en +∞ = +∞

Par produit lim eˣ(eˣ - 2) en +∞ = + ∞

et lim eˣ(eˣ - 2) + 1 en +∞ = +∞

lim f(x) en +∞ = +∞

3) a) f'(x) = 2e²ˣ - 2eˣ = 2eˣ(eˣ - 1)

pour tout x réel , 2eˣ > 0

le signe de f'(x) dépend donc uniquement su signe de eˣ - 1

b) Etudions le signe de eˣ - 1

eˣ - 1 s'annule pour x = 0

et eˣ - 1 < 0 sur ]-∞ ; 0[

er eˣ - 1 > 0  sur ]0 ; + ∞[

AU final , f'(x) ≤ 0 sur ]-∞ ; 0] et f'(x) ≥ 0 sur [0 ; +∞[

Donc f(x) est décroissante sur ]-∞ ; 0] et croissante sur [0 ; +∞[