Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape :

Partie A : c'est du niveau de seconde voire 3ème  excepté pour f'(1) niveau 1ère.

1) f(0)=2    coordonnées de A

 f(2)=0       coordonnées de B

2)f'(1)=0   coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse x=1 (tangente horizontale)

3) Equation de la tangente en A  (T) y=x+2 (équation d'une droite du plan connaissant deux points prog 2de)

4) f(x)=1    a deux solutions (il suffit de regarder la courbe)

5) f(x) est croissante sur [-10; 1[ et décroissante sur ]-1; 2]

6) convexe sur [10;0[ et concave sur ]1; 2]

Partie B (un petit niveau de terminale c'est une   fonction basique)

f(x)=(2-x)e^x

1a)f(0)=2e^0=2 et f(2)=(2-2)e²=0e²=0

1b) f'(x)=-1e^x +(e^x)(2-x)=(1-x)e^x d'après formule de la dérivée d'un produit (u*v)'=u'v+v'u  et sachant que la dérivée de e^x est e^x.

1c)f'(1)=(1-1)e=0 donc  f'(1)=0

2) Equation de la tangente  au point d'abscisse x=0 (formule à connaître)

y=(f'0)(x-0)+f(0)=1x+2=x+2

3a) f'(x)=0 pour x=1

Tableau de signe de f'(x) et de variations de f(x)

x   -10                                 1                            2

f'(x)...............+........................0............-..................

f(x)f(-10).......C.......................f(1)..........D..................f(2)

f(-10)=5*10^-4 (environ)

f(1)=e (2,72 environ)

et f(2)=0

3b) f(x)=1 d'après le TVI on note que l'équation  f(x)=1   admet 2 solutions

une sur [-10;1[  x=-1,1 (environ) et une sur ]1;2]  x=1,84 (environ)

4) sans logiciel : calculons la dérivée seconde f"(x)=-1e^x+(1-x)e^x=-xe^x

f"(x)=0   pour x=0

on note que f"(x) >0 pour x<0  donc sur [-10; 0[ la courbe est convexe et inversement si x>0, f"(x) est <0 donc la courbe est concave sur ]0;2]

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