Bonjour,

f(x) = 10x²e⁻ˣ

Partie A

1) f est de la forme u*v avec :

u(x) = 10x²  ⇒ u'(x) = 20x

v(x) = e⁻ˣ     ⇒ v'(x) = -e⁻ˣ

⇒ f'(x) = 20xe⁻ˣ - 10x²e⁻ˣ = (20x - 10x²)e⁻ˣ

2) e⁻ˣ > 0 sur R

donc le signe de f'(x) ne dépend que du signe de (20x - 10x²) :

20x - 10x² = 10x(2 - x)

x         0                   2                 +∞

10x      0       +                   +

2 - x    2        +         0       -  

f'(x)      0        +         0       -

f(x)             croiss.           décrois.

3)a) f est croissante sur [0,3 ; 0,4] et :

f(0,3) = 10 x 0,3² x e^(-0,3) ≈ 0,66  < 1

f(0,4) = 10 x 0,4² x e^(-0.4) ≈ 1,07   > 1

⇒ il existe un unique α ∈ [0,3 ; 0,4] tel que f(α) = 1

(théorème des valeurs intermédiaires)

b) on trouve : α ≈ 0,38 à 0,01 près

4) f"(x) = 10(2 - 4x + x²)e⁻ˣ

du signe de : x² - 4x + 2

Δ = (-4)² - 4x1x2 = 16 - 8 = 8 = (2√2)²

⇒ 2 racines : x₁ = (4 - 2√2)/2 = 2 - √2

et x₂ = 2 + √2

x       0            x₂              x₁            +∞

f"'(x)         +      0       -       0      +

f(x)      concave   convexe   concave

5) F(x) = -10(x² + 2x + 2)e⁻ˣ

F'(x) = -10[(2x + 2) - (x² + 2x + 2)]e⁻ˣ

= -10(-x²)e⁻ˣ

= 10x²e⁻ˣ

= f(x)

⇒ F primitive de f

6) Aire = Somme de x = 0 à x = 12 de f(x)dx

= F(12) - F(0)

= (-1700e⁻¹²) - (-20e⁰)

= 20 - 1700e⁻¹²

≈ 19,990 u.a. à 10⁻³ près