Réponse :

Explications étape par étape

vn(un -1) = 1  

vn+1 ( un+1    - 1 )=  1

vn+1 (  (4un  -1)  /( un  +2)   -1 )  =  1

vn+1 (  4un  - 1 - un -2 )  =   un   +  2

vn+1( 3un  -3)  = un    +2  

comme   vn(un -1) = 1       un   -1 = 1/vn  

un  =  1 +  1/vn  

vn+1( 3/vn)   = 3   +1/vn    

3vn+1   =  3vn  +   1

vn+1    =  vn  +  1/3  

ça prouve que  vn est une suite arithmétique

2)  v0 =  1/(-6)      

vn  =  v0  + (1/3)n   =   -1/6    +  (1/3) n  

3) un = 1   +1/vn     =   1+    1/  ( -1/6    +  (1/3) n  )