Bonjour je suis vraiment nul en suites surtout géométrique si quelqu'un aurait l'amabilité de m'aide.... Pergunta de ideia deMarc4578

December 2020 1 28 Report

Bonjour je suis vraiment nul en suites surtout géométrique si quelqu'un aurait l'amabilité de m'aider pour cette exercice ça serait cool. Merci d'avance.

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godetcyril

Réponse : Bonsoir,

1)a) Comme le triangle $OA_{n}A_{n+1}$ rectangle isocèle en $A_{n+1}$ , alors les angles $\widehat{A_{n+1}OA_{n}}=\widehat{OA_{n}A_{n+1}}=45 \°$ .

On a que:

$\cos(\widehat{A_{n+1}OA_{n}})=\frac{OA_{n+1}}{OA_{n}}\\OA_{n+1}=\cos(\widehat{A_{n+1}OA_{n}}) \times OA_{n}=\cos(45\°) \times OA_{n}=\frac{1}{\sqrt{2}}OA_{n}$

b) Comme pour tout entier naturel n, $l_{n}$ , est la longueur $OA_{n}$ , alors on en déduit que:

$l_{n+1}=\frac{1}{\sqrt{2}}l_{n}$

Donc la suite $(l_{n})$ est géométrique de raison $\frac{1}{\sqrt{2}}$ .

c) On a donc pour tout entier n: $l_{n}=l_{0} \times (\frac{1}{\sqrt{2}})^{n}=1 \times (\frac{1}{\sqrt{2}})^{n}=(\frac{1}{\sqrt{2}})^{n}$ .

2)a) On a:

$\displaystyle p_{n}=l_{1}+l_{2}+...+l_{n}=l_{1} \times \frac{1-(\frac{1}{\sqrt{2}})^{n}}{1-\frac{1}{\sqrt{2}}}=\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1-\frac{1}{(\sqrt{2})^{n}}}{\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}}=\frac{1-\frac{1}{(\sqrt{2})^{n}}}{\sqrt{2}-1}$

b) On a que:

$p_{8}=\frac{1-\frac{1}{(\sqrt{2})^{8}}}{\sqrt{2}-1}=\frac{1-\frac{1}{2^{4}}}{\sqrt{2}-1}=\frac{1-\frac{1}{16}}{\sqrt{2}-1}=\frac{15}{16} \times \frac{1}{\sqrt{2}-1}=\frac{15}{16} \times \frac{\sqrt{2}+1}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}\\=\frac{15}{16} \times \frac{\sqrt{2}+1}{2-1}=\frac{15}{16}(\sqrt{2}+1)=\frac{15\sqrt{2}+15}{16}$