Réponse :

1)

On utilise une suite pour calculer le coût du forage :

chaque mètre de forage coûte 52€ de plus que le mètre précédent, ainsi on a :

[tex]u_1=130\\u_2= 130+52=182\\u_3=\underbrace{130+52}_{u_2}+52=234[/tex]

2)

Donc [tex](u_n)[/tex] est une suite arithmétique de raison 52 et de premier terme 1.

on a donc : [tex]\boxed{u_n=130+(n-1)52}[/tex]

3)

on a [tex]S_n=u_1+u_2+\dots+u_n[/tex]

donc :

[tex]S_2= u_1+u_2=130+182=312[/tex]

[tex]S_3=S_2+u_3=312+234=546[/tex]

4)

• def nombre_metre (S) :
•   C=130
•   n=1
•   while C <= 116 610 :
•        C= C+52
•         n=n+1
• return n

5)

la formule de la somme des termes d'une suite arithmétique est à savoir par coeur :

Rappel : si la suite commence à [tex]u_0[/tex] :

[tex]\boxed{S_n=(n+1)\displaystyle\frac{u_0+u_n}{2}}[/tex]

Bon ici la suite commence à [tex]u_1[/tex] :

[tex]S_n=n\displaystyle\frac{u_1+u_n}{2}=n\displaystyle\frac{130+130+(n-1)52}{2}=\displaystyle\frac{260n+52n^2-52n}{2}=\boxed{26n^2-104n}[/tex]

6)

on cherche [tex]n[/tex] tel que :

[tex]S_n \leqslant116610\\\implies 26n^2-140n \leqslant 116 610\\\implies 26n^2-140n-116610 \leqslant0\\\implies 26(n^2-4n-4485) \leqslant0\\\implies n^2-4n-4485 \leqslant0[/tex]

calculons le discriminant du polynôme

[tex]\Delta=16-4\times1 \times(-4485)=16+17940=17956=134^2[/tex]

les racines sont donc :

[tex]x_1=\displaystyle\frac{4-134}{2}=-65\\x_2=\displaystyle\frac{4+134}{2}=69[/tex]

la réponse négative étant impossible, on trouve [tex]\boxed{n=69}[/tex]

Exercice 2

1)a.

[tex]u_1=\frac{3}{5}\times 2+1=\frac{11}{5}[/tex]

1)b.

• def U (n) :
•      u=2
•      for k in range (n+1) :
•          u=(3/5)*u+1
• return u

2)a.

[tex]V_{n+1}=u_{n+1}-\displaystyle\frac{5}{2}\\=\displaystyle\frac{3}{5}u_n+1-\frac{5}{2} \\=\displaystyle\frac{3}{5}u_n-\frac{3}{2} \\ =\displaystyle\frac{3}{5}(u_n-\frac{5}{2})\\ =\displaystyle\frac{3}{5}v_n[/tex]

Donc [tex](v_n)\\[/tex] est bien une suite géormétrique de raison [tex]\displaystyle\frac{3}{5}[/tex] et de premier terme [tex]v_0=u_0-\displaystyle\frac{5}{2}=2-\frac{5}{2} =-0.5[/tex]

2)b.

donc :

[tex]\boxed{v_n=-\displaystyle\frac{1}{2}\bigg(\displaystyle\frac{3}{5}\bigg)^n }[/tex]

2)c

[tex]\frac{v_{n+1}}{v_{n}} \displaystyle\frac{-\frac{1}{2}(\frac{3}{5})^{n+1} }{-\frac{1}{2}(\frac{3}{5})^{n} } =\frac{3}{5} \leqslant1[/tex]

donc [tex]v_n \geqslant v_{n+1}[/tex] donc la suite [tex](v_n)[/tex] est décroissante

2)d

[tex]v_n=u_n-\frac{5}{2} \implies u_n=v_n+ \frac{5}{2} \implies u_n=\boxed{ \displaystyle\frac{5}{2}-\frac{1}{2}\bigg(\frac{3}{5}\bigg)^n }[/tex]

3)

[tex]u_{n+1}-u_n=\displaystyle\frac{5}{2}-\frac{1}{2}\bigg(\frac{3}{5}\bigg)^{n+1}- \displaystyle\frac{5}{2} +\frac{1}{2}\bigg(\frac{3}{5}\bigg)^{n}=-\frac{1}{2} \bigg(\frac{3}{5}\bigg)^{n+1}+\frac{1}{2}\bigg(\frac{3}{5}\bigg)^{n}\\=-\frac{1}{2}\bigg(\bigg(\frac{3}{5}\bigg)^{n+1}-\bigg(\frac{3}{5}\bigg)^{n}\bigg)\\[/tex]

Or comme      [tex]\displaystyle\frac{3}{5} \leqslant 1 \implies \bigg(\displaystyle\frac{3}{5}\bigg)^{n+1} \leqslant \bigg(\displaystyle\frac{3}{5}\bigg)^{n}[/tex]

alors

[tex]\bigg(\frac{3}{5}\bigg)^{n+1}-\bigg(\frac{3}{5}\bigg)^{n} \leqslant 0[/tex]

et comme [tex]-0.5 \leqslant 0[/tex]

alors [tex]u_{n+1}-u_n \geqslant 0[/tex] donc [tex](u_n)[/tex] est croissante

4)

[tex]u_n= \displaystyle\frac{5}{2}-\frac{1}{2}\bigg(\frac{3}{5}\bigg)^n[/tex]

or      [tex]\frac{3}{5} \leqslant 1[/tex]      donc        [tex]\bigg(\displaystyle\frac{3}{5}\bigg)^n \xrightarrow[n \mapsto + \infty ]{}0[/tex]

D'ou

[tex]\boxed{u_n\xrightarrow[n \mapsto +\infty]{}\displaystyle\frac{5}{2}}}[/tex]

je ferais la suite plus tard....