Réponse :

J'ai besoin d'aide pour cette exercice de math , merci d'avance pour vos reponses !​

f: x → x³ - 3 x + 1    définie sur R

1) déterminer une équation de la tangente T à Cf au point d'abscisse 1/2

f est une fonction polynôme dérivable sur R  et sa dérivée f ' est :

          f '(x) = 3 x² - 3

f '(1/2) = 3*(1/2)² - 3 = 3/4 - 3 = 3/4 - 12/4 = - 9/4

f(1/2) = (1/2)³ - 3*(1/2) + 1 = 1/8 - 3/2 + 1 = 1/8 - 12/8 + 8/8 = - 3/8

y = f(1/2) + f '(1/2)(x - 1/2)

y = - 3/8 - 9/4(x - 1/2)

y = - 3/8 - (9/4) x + 9/8  = - 9/4) x + 6/8 = - 9/4) x + 3/4

d'où  y = - 9/4) x + 3/4  (T)

2) déterminer les réels a, b et c tels que

  f(x) - ((- 9/4)x + 3/4) = (x + 1)(a x² + b x + c)

x³ - 3 x + 1 + 9 x/4 - 3/4 = a x² + b x + c x + a x² + b x + c

x³ - 3 x/4 + 1/4 = a x³ + (a +b) x² + (b + c) x + c

on en déduit

a = 1

c = 1/4

a + b = 0  ⇒ b = - a  ⇒ b = - 1

DONC  f(x) - y = (x + 1)(x² - x + 1/4)

3) A l'aide des questions précédentes, étudier les positions relatives de Cf et de T

     f(x) - y = (x + 1)(x² - x + 1/4)    or  x² - x + 1/4 = (x - 1/2)² ≥ 0

donc le signe de f(x) - y   dépend du signe de x + 1

       x  - ∞                                   - 1                               + ∞

f(x) - y                      -                    0                +

position         Cf est en dessous               Cf est au-dessus de T

relative               de T

de  Cf/T  

Explications étape par étape :