Réponse :

Bonjour

1) f(x) =x³ - 3x + 1

f'(x) = 3x² - 3

f'(1/2) = 3/4 - 3 = 3/4 - 12/4 = -9/4

f(1/2) = (1/2)³ - 3/2 + 1 = 1/8 - 12/8 + 8/8 = -3/12 = -3/4

Donc T: y = -9/4(x - 1/2) - 3/4

         T : y = -9x/4 + 9/8 - 6/8

         T : y = -9x/4 + 6/8

         T : y = -9x/4 + 3/4

2) f(x) - (-9x/4 + 3/4) = x³ - 3x + 1 + 9x/4 - 3/4 = x³ - 3x/4 + 1/4

d'autre part :

(x + 1)(ax² + bx + c) = ax³ + bx² + cx + ax² + bx + c

                              = ax³ +(b + a)x² + (c + b)x + c

Par identification , on obtient :

a = 1                                 ⇔ a = 1

a + b = 0                               b = -1

b + c = -3/4                           c = 1/4

c = 1/4

Donc f(x) - (-9x/4 + 3/4) = (x + 1)(x² - x + 1/4)

3) sur R , x² - x + 1/4 ≥ 0 (le polynôme ne s'annule que pour x = 1/2, il est donc toujours du signe de a)

Donc f(x) - (-9x/4 + 3/4) est du signe de x + 1

sur ]-∞ ; -1] , x + 1 ≤ 0

et sur [-1 ; +∞[ , x + 1 ≥ 0

donc sur ]-∞ ; -1], la courbe C est en dessous de la tangente T

sur [-1 ; +∞[ , la courbe C est au dessus de la tangente C

La courbe et la tangente se croisent en -1 et 1/2