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Bonjour,

Un+1 = (3Un + 4)/(Un + 3) et U₀ = -1

1)a)

U₁ = U₀₊₁ = (3U₀ + 4)/(U₀ + 3) = (-3 + 4)/(-1 + 3) = 1/2

U₂ = U₁₊₁ = (3U₁ + 4)/(U₁ + 3) = (3/2 + 4)/(1/2 + 3) = (11/2)/(7/2) = 11/7

U₃ = U₂₊₁ = (3U₂ + 4)/(U₂ + 3) = (33/7 + 4)/(11/7 + 3) = (61/7)/(32/7) = 61/32

U₄ = U₃₊₁ = (3U₃ + 4)/(U₃ + 3) = (183/32 + 4)/(61/32 + 3) = (311/32)/(157/32) = 311/157

b) U₁ - U₀ = 1/2 + 1 = 3/2

et U₂ - U₁ = 11/7 - 1/2 = 15/14 ≠ U₁ - U₀

⇒ (Un) n'est pas arithmétique

De même :

U₁/U₀ = -1/2 et U₂/U₁ = 22/7 ≠ U₁/U₀

⇒ (Un) n'est pas géométrique

2) f(x) = (3x + 4)/(x + 3) sur I = ]-3 ; +∞{

a) f'(x) = [3(x + 3) - 1(3x + 4)]/(x + 3)² = 5/(x + 3)²

⇒ sur I, f' est strictement positive

⇒ sur I, f est strictement croissante

b) f(x) - x

= (3x + 4)/(x + 3) - x

= (3x + 4)/(x + 3) - x(x + 3)/(x + 3)

= (3x + 4 - x² - 3x)/(x + 3)

= (2 - x)(2 + x)/(x + 3)

Tableau de signes sur I :

x          -3            -2             2              +∞

2 - x             +              +      0      -

2 + x             -      0      +              +

x + 3      ||     +              +              +

f(x)-x      ||      -      0      +       0      -

c) Soit Cf la courbe représentative de f

Sur ]-3 ; -2[ U ]2 ; +∞[, f est en dessous de (d)

Sur ]-2 ; 2[, f est au-dessus de (d)

Et pour x = -2 et x = 2, Cf et (d) se coupent.

3)a et b) Voir figure ci-dessous

c) On peut conjecturer que (Un) est croissante et que sa limite vaut 2.

4) Vn = (Un + 2)/(Un - 2)

a) V₀ = (U₀ + 2)/(U₀ - 2) = (-1 + 2)/-1 - 2) = -1/3

V₁ = (U₁ + 2)/(U₁ - 2) = (1/2 + 2)/(1/2 - 2) = (5/2)/(-3/2) = -5/3

V₂ = (U₂ + 2)/(U₂ - 2) = (11/7 + 2)/(11/7 - 2) = (25/7)/(-3/7) = -25/3

etc...

b) Vn = (Un + 2)/(Un - 2)

⇔ (Un - 2)Vn = (Un + 2)

⇔ UnVn - 2Vn = Un + 2

⇔ VnUn - Un = 2 + 2Vn

⇔ Un(Vn - 1) = 2(Vn + 1)

⇔ Un = 2(Vn + 1)/(Vn - 1)

c) Vn+1 = (Un+1 + 2)/(Un+1 - 2)

= [(3Un + 4)/(Un + 3) + 2]/[(3Un + 4)/(Un + 3) - 2]

= [(3Un + 4 + 2Un + 6)/(Un + 3)]/[(3un + 4 - 2Un - 6)/(Un + 3)]

= (5Un + 10)/(Un - 2)

= 5(Un + 2)/(Un - 2)

= 5Vn

Donc (Vn) est géométrique de raison q = 5 et de premier terme V₀ = -1/3

d) On en déduit : Vn = V₀ x qⁿ = -1/3 x 5ⁿ

puis : Un = 2(Vn + 1)/(Vn - 1)

= 2 x (-1/3 x 5ⁿ + 1)/(-1/3 x 5ⁿ + 1)

= 2 x (5ⁿ - 3)/(5ⁿ + 3)