Bonjour j’aurai besoin d’aide svp merci d’avance !!
Exercice 1
Une balle rebondissante est lâchée d'une hauteur de 100 mètres. La hauteur atteinte par la balle diminue de 20% à chaque rebond.
1°) Déterminer la hauteur du quatrième rebond de cette balle.
2°) Au bout de combien de rebonds la hauteur du rebond de la balle est-elle inférieure à 10 mètres ?
3°) On considère que la balle est immobile dès que la hauteur du rebond est inférieure à 1 mm.
On souhaite savoir au bout de combien de rebonds la balle sera considérée comme immobile.
a) Montrer que cela nécessite de résoudre l'inéquation 100 × 0,8" < 0,001.
b) Résoudre cette inéquation et conclure.
c) Déterminer la distance totale (arrondie au mètre) parcourue par la balle avant d'être considérée comme immobile.
Rappel: si (un,) est une suite géométrique de raison q u1, + u2 +…+ un = 1 x 1-q(puissance n) divisée par 1-q
Exercice 1
Une balle rebondissante est lâchée d'une hauteur de 100 mètres. La hauteur atteinte par la balle diminue de 20% à chaque rebond.
1°) Déterminer la hauteur du quatrième rebond de cette balle.
2°) Au bout de combien de rebonds la hauteur du rebond de la balle est-elle inférieure à 10 mètres ?
3°) On considère que la balle est immobile dès que la hauteur du rebond est inférieure à 1 mm.
On souhaite savoir au bout de combien de rebonds la balle sera considérée comme immobile.
a) Montrer que cela nécessite de résoudre l'inéquation 100 × 0,8" < 0,001.
b) Résoudre cette inéquation et conclure.
c) Déterminer la distance totale (arrondie au mètre) parcourue par la balle avant d'être considérée comme immobile.
Rappel: si (un,) est une suite géométrique de raison q u1, + u2 +…+ un = 1 x 1-q(puissance n) divisée par 1-q
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1°) La hauteur atteinte par la balle diminue de 20% à chaque rebond. Donc la hauteur du quatrième rebond est :
100 x 0,8 x 0,8 x 0,8 x 0,8 = 40,96 mètres.
Donc la hauteur du quatrième rebond de la balle est de 40,96 mètres.
2°) La hauteur atteinte par la balle diminue de 20% à chaque rebond. On peut écrire la suite des hauteurs atteintes par la balle après chaque rebond :
u1 = 100 mètres
u2 = 100 x 0,8 = 80 mètres
u3 = 80 x 0,8 = 64 mètres
u4 = 64 x 0,8 = 51,2 mètres
u5 = 51,2 x 0,8 = 40,96 mètres
...
On cherche le premier terme de cette suite qui est inférieur à 10 mètres :
100 x 0,8^n < 10
0,8^n < 0,1
n > log(0,1) / log(0,8)
n > 3,86
Le nombre de rebonds nécessaires pour que la hauteur de la balle soit inférieure à 10 mètres est donc 4.
3°) On cherche le premier terme de la suite des hauteurs atteintes par la balle qui est inférieur à 1 mm, soit 0,001 mètre. On peut écrire :
100 x 0,8^n < 0,001
0,8^n < 0,00001
n > log(0,00001) / log(0,8)
n > 6,91
Le nombre de rebonds nécessaires pour que la hauteur de la balle soit inférieure à 1 mm est donc 7.
a) Pour que la balle soit considérée comme immobile, la hauteur du rebond doit être inférieure à 1 mm. On peut écrire :
100 x 0,8^n < 0,001
b) Pour résoudre cette inéquation, on peut diviser les deux membres par 100 :
0,8^n < 0,00001
On peut ensuite prendre le logarithme décimal des deux membres :
n x log(0,8) < log(0,00001)
n > log(0,00001) / log(0,8)
c) La balle effectue une suite géométrique de raison 0,8. On cherche la somme des distances parcourues par la balle avant d'être considérée comme immobile, c'est-à-dire avant le septième rebond. On peut utiliser la formule de la somme des termes d'une suite géométrique :
S7 = u1 x (1 - 0,8^7) / (1 - 0,8)
S7 = 100 x (1 - 0,8^7) / 0,2
S7 ≈ 421 mètres
Donc la distance totale parcourue par la balle avant d'être considérée comme immobile est d'environ 421 mètres.