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Bonjour,

1) g(x) = x³ - 3x - 3

a) g'(x) = 3x² - 3 = 3(x² - 1) = 3(x - 1)(x + 1)

x        -∞                -1                    1                     +∞

x+1               -         0         +                   +

x-1                -                     -         0        +

g'(x)             +         0         -         0        +

g(x)           crois.         décrois.         crois.

b) g(3) = 15

c) g(-1) = -1, g(1) = -5, lim g(x) en +∞ = +∞  et g est croissante sur [1;+∞[

donc il existe un unique α ∈ [1;+∞[ tel que g(α) = 0

d) 2,103 < α <2,104

e) on en déduit :

x       -∞                       α                      +∞

g(x)                 -            0           +

2) f(x) = (2x³ + 3)/(x² - 1)

de la forme u/v avec :

u(x) = 2x³ + 3 ⇒ u'(x) = 6x²

et v(x) = x² - 1 ⇒ v'(x) = 2x

f' = (u'v - uv')/v²

⇒f'(x) = [(6x²(x² - 1) - 2x(2x³ + 3)]/(x² - 1)²

= (6x⁴ - 6x² - 4x⁴ - 6x)/(x² - 1)²

= 2x(x³ - 3x - 3)/(x² - 1)²

= 2xg(x)/(x² - 1)²