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Bonjour,

1) f(x) = [cos(x) - 1]/x

= [cos(x) - cos(0)]/(x - 0)

= Taux d'accroissement de la fonction cos(x) en x = 0

donc par définition du nombre dérivé :

lim f(x) quand x → 0 = dérivée de cos(x) en x = 0

= -sin(0)

= 0

= f(0)

⇒ f est continue en 0

2) Pour x ≠ 0 :

f'(x) = [-xsin(x) - (cos(x) - 1)]/x²

= [-xsin(x) - cos(x) + 1]/x²

lim f'(x) quand x → 0 = lim [-cos(x) + 1]/x²    (car lim xsin(x) = 0)

on va "trafiquer" un peu [1 - cos(x)]/x²

[1 - cox(x)]/x²

= [1 - cos(x)][1 + cos(x)]/x²[1 + cos(x)]

= [1 - cos²(x)]/x²[1 + cos(x)]

= sin²(x)/x²[1 + cos(x)]

donc lim f(x) en 0 = lim sin²(x)/x²[1 + cos(x)]

= lim sin²(x)/2x²   car lim cos(x) = 1 donc lim [1 + cos(x)] = 2

= 1/2 * lim [sin(x)/x]²

lim en 0 de sin(x)/x = lim [sin(x) - sin(0)]/(x - 0) = cos(0) = 1

donc lim f(x) = 1/2 * 1 = 1/2