prendre une photo pour qu' elle apparaisse en position immédiatement lisible serait mieux ...

couper en 2 exercices indépendants - en 2 posts donc - serait également mieux !

k(x) = √(4x - x²) / x .

■ il faut 4x - x² ≥ 0 donc il faut x ∈ [ 0 ; 4 ] .

Il faut aussi x ≠ 0 puisqu' on a " x " au dénominateur !

D' où le Domaine de définition de la fonction " k " :

                   Dk = ] 0 ; 4 ] .

■ pour x tendant vers 0+ :

      Lim k(x) = Lim √x / x = Lim 1/√x = +∞ .

■ dérivée k ' (x) :

k' (x) =  { [ 0,5x(4-2x) / √(4x-x²) ] - √(4x-x²) } / x²

       = { [ (2x-x²) (√(4x-x²) / (4x-x²) ] - √(4x-x²) } / x²

       = [ 2x-x² - 4x+x² ] * √(4x-x²) / [ x² * (4x-x²) ]

       = [ -2x ] * √(4x-x²) / [ x² * (4x-x²) ]

k ' (x) = -2 / [ x * √(4x-x²) ] toujours négative pour 0 < x < 4 .

On remarque que le dénominateur est nul pour x = 4 donc :

la fonction k n' est pas dérivable pour x = 4 .

         et Lim k ' (x tendant vers 4) = -∞ .

■ étude de la Tangente au point T ( 2 ; 1 ) :

  k ' (2) = -2/ (2 * 2) = -0,5 ;

  L' équation de la Tgte en T est donc : y = -0,5x + 2 .  

■ tableau :

      x -->       0        1          2          3          4

k ' (x) -->       ║        -        -0,5        -          ║

  k(x) -->       ║       √3       1       0,577      0

remarque : k(3) = 1/√3 ≈ 0,57735 .

■ intersection Courbe-Tgte en T :

il y a le point T ( 2 ; 1 ) ... et il y aurait le point ( 4 ; 0 ) ☺ .

je te réponds pour l' exercice 4 à condition que Tu le postes à part ( je vais au petit-déjeuner ! )