Bonjour, j’aurais besoin d’aide pour cet exercice, si vous le pouvez je vous en remercie :
On s’intéresse aux solutions réelles de l’équation (En):x^n+x-1=0, avec n ∈ N*.
1. Déterminer les solutions de (En) pour n=1 et n=2
2. Pour n ∈ N, on définie fn(x)=x^n+x-1 sur R*=[0; +∞[
3. À l’aide de la calculatrice ou un logiciel de géométrie, reproduire les courbes de f1,f2,f3 et f4
4. Déterminer les valeurs approchées de A3 et A4 arrondies à 10^-2
5. Conjecturer les variations de la suite (An) ainsi que sa limite
6. Démontrer votre conjecture au sujet du sens de variations (utiliser le théorème des valeurs intermédiaires)
7. Démontrer votre conjecture concernant la limite
On s’intéresse aux solutions réelles de l’équation (En):x^n+x-1=0, avec n ∈ N*.
1. Déterminer les solutions de (En) pour n=1 et n=2
2. Pour n ∈ N, on définie fn(x)=x^n+x-1 sur R*=[0; +∞[
3. À l’aide de la calculatrice ou un logiciel de géométrie, reproduire les courbes de f1,f2,f3 et f4
4. Déterminer les valeurs approchées de A3 et A4 arrondies à 10^-2
5. Conjecturer les variations de la suite (An) ainsi que sa limite
6. Démontrer votre conjecture au sujet du sens de variations (utiliser le théorème des valeurs intermédiaires)
7. Démontrer votre conjecture concernant la limite
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n = 1 donne 2x - 1 = 0 donc 2x = 1 d' où x = 0,5 .
n = 2 donne x² + x - 1 = 0 donc Δ = 1 + 4 = 5
d' où x = (-1-√5)/2 ≈ -1,618 OU x = (-1+√5)/2 ≈ 0,618 .
n = 3 donne x³ + x - 1 = 0 donc x ≈ 0,68 ( arrondi au centième ) .
n = 4 donne x puissance4 + x - 1 = 0 donc x ≈ 0,72 ( arrondi au centième ) ( seule la solution positive est demandée ! )
n = 5 donne x ≈ 0,755 environ
n = 6 donne x ≈ 0,778 environ
n = 7 donne x puissance7 = 1 - x donc x ≈ 0,8 environ
n = 8 donne x puiss8 = 1 - x donc x ≈ 0,81
n = 100 donne x puiss100 = 1 - x donc x ≈ 0,97
n = 1000 donne x puiss1000 = 1 - x donc x ≈ 0,995
n = 10 000 donne x puiss10000 = 1 - x donc x ≈ 0,999
Limite de (x puissance n + x - 1) pour n tendant vers l' infini = zéro .