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Bonjour,

U₀ = 6 et U₁ = 1 et Un+2 = 5Un+1 - 6Un

1) Vn = Un+1 - αUn et Wn = Un+1 - βUn

soit V₀ = U₁ - αU₀ = 1 - 6α   et W₀ = U₁ - βU₀ = 1 - 6β

et Vn+1 = Un+2 - αUn+1  et Wn = Un+2 - βUn+1

⇒ Vn+1 = 5Un+1 - 6Un - αUn+1 = (5 - α)Un+1 - 6Un

et Wn+1 = 5Un+1 - 6Un -βUn+1 = (5 - β)Un+1 - 6Un

(Vn) géométrique de raison β ⇒ Vn+1 = βVn

⇔ (5 - α)Un+1 - 6Un = β[Un+1 - αUn]

⇔ (5 - α - β)Un+1 + (αβ - 6)Un = 0

Et de même, (Wn) géométrique de raison α ⇒ Wn+1 = αWn

⇔ (5 - β)Un+1 - 6Un = α[Un+1 - βUn]

⇔ (5 - β - α)Un+1 + (αβ - 6)Un = 0

on en déduit :

5 - α - β = 0 ⇔ α = 5 - β

et αβ - 6 = 0 ⇔ (5 - β)β - 6 = 0 ⇔ -β² + 5β - 6 = 0 ⇔ β² = 5β - 6

idem, si on avait isolé α : α² = 5α - 6

Donc α et β sont solutions de x² = 5x - 6

b) on en déduit : α = 2 et β = 3

2)a) Vn = V₀ x αⁿ = (1 - 6α) x βⁿ = -11 x 3ⁿ

b) et Wn = W₀ x βⁿ = (1 - 6β) x αⁿ = -17 x 2ⁿ

3) Vn = Un+1 - αUn = Un+1 - 2Un

et Wn = Un+1 - βUn = Un+1 - 3Un

⇒ Vn - Wn = Un

⇒ Un = -11 x 3ⁿ + 17 x 2ⁿ