Réponse :

bonjour, j'aurais besoin d'aide pour mon devoirs de math svp. pour demain

Deux suites (Un) et (Vn) de nombres réels sont dites adjacents si elles vérifient les propriétés suivantes:

1. la suite (Un) est croissante;

2. la suite (Vn) est décroissante;

3. lim(Vn-Un)=0 .

autrement dit, les suites (Un) et (Vn) de nombres reéls sont adjacents si la suite de segment [Un,Vn] est une suite de segment emboîtés dont la longueur tend vers 0. deux suites (Xn) et (Yn) sont définies pour n > 0 par les relations:

Xn = 1\n + 1\n+1 +...+ 1\2n et Yn = 1\n+1 + 1\n+2 +...+ 1\2n

montrez que les suites (Xn) et (Yn) sont adjacents.

* xn+1 = 1/n+1 + 1/n+2 + ......1/2n + 1/2n+1 +1/(2n+2)

 xn = 1\n + 1\n+1 +...+ 1\2n

............................................................

xn+1 - xn = 1/2n+1 + 1/2n+2 - 1/n

               = (- 3n - 2)/n(2n+1)(2n+2)

               = - (3 n + 2)/n(2n+1)(2n+2) < 0

donc la suite (Xn) est décroissante

yn+1 = 1/1+(n+1) + ......+ (1/(n-1)+(n+1)  + 1/n+(n+1) + 1/(n+1)+(n+1)

yn+1 - yn = 1/n+1 + 1/n+2 + ......+ 1/2n

.........................................................................

yn+1 - yn = 1/2n+1 + 1/2n+2  - 1/n+1 = 1/2n+1 - 1/2n+2

              = (2n+2 - 2n - 1)/(2n+2)(2n+1)

              = 1/(2n+2)(2n+1)  > 0

Donc  (Yn) est croissante

lim (Xn - Yn) = 1/n + 1/n+1 + ......+ 1/2n - 1/n+1 - 1/n+2 + ......+ 1/2n  

n→ + ∞    

donc  lim 1/n = 0

         n→ + ∞

Explications étape par étape :