bonjour ! je coince encore pour l'exercice 2 et 4... il s'agit d'exercices sur les complexes. le 3 est fait mais j'ai du mal pour les deux autres. J'aimerais bien avoir de l'aide.... merci !
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Exercice 2 :Je note z* pour le conjugué de z
a) z²+4z*+5=0
z=x+iy, z*=x-iy avec (x;y)∈IR²
z²=x²-y²+2ixy
Donc x²-y²+2ixy+4x-4iy+5=0 ce qui donne le système :
x²-y²+4x+5=0
2xy-4y=0 soit y(x-2)=0
1er cas : y=0 et x²+4x+5=0. Δ=16-20=-4<0 donc pas de solutions pour x
2ème cas : x=2 et 4-y²+8+5=0 soit y²=17
Donc il y a 2 solutions : z1=2+i√17 et z2=2-i√17 on remarque que z2=z1*
b) (z*-2)/z+z*+2=0
On suppose que z≠0, on a :
z*-2+zz*+2z=0 soit x-iy-2+x²+y²+2x+2iy=0
Ce qui donne le système :
x²+y²+3x-2=0
iy=0
Donc y=0 (z est réel pur) et x²+3x-2=0. Δ=9+8=17
z1=(-3+√17)/2 et z2=(-3-√17)/2
c) On pose Z=(z-3i)/(z+2)
On a Z²-6Z+13
Z=a+ib ce qui donne a²-b²+2iab-6a-6ib+13=0
Soit le système :
a²-b²-6a+13=0
2ab-6b=b(a-3)=0
1er cas : b=0 et a²-6a+13=0. Δ=36-52<0 donc pas de solutions pour a.
2ème cas : a=3 et 9-b²-18+13=0 soit b²=4
Z a 2 solutions : Z1=3+2i et Z2=3-2i
Donc on résout maintenant : (z-3i)/(z+2)=3+2i puis (z-3i)/(z+2)=3-2i
(z-3i)/(z+2)=3+2i
⇔x+(y-3)i=(3+2i)(x+2+iy)
⇔x+(y-3)i=3x+6+3iy+2ix+4i-2y
⇔x+(y-3)i=3x-2y+6+i(2x+3y+4)
Soit le système :
x=3x-2y+6 d’où 2x=2y-6
y-3=2x+3y+4 d’où y-3=2y-6+3y+4 ⇔ 4y=-1 ⇔ y=-1/4
Et x=y-3=-1/4-3=-13/4
Donc z=-13/4-i/4
(z-3i)/(z+2)=3-2i
⇔x+(y-3)i=(3-2i)(x+2+iy)
⇔x+(y-3)i=3x+6+3iy-2ix-4i+2y
⇔x+(y-3)i=3x+2y+6+i(-2x+3y-4)
Soit le système :
x=3x+2y+6 d’où 2x=-2y-6
y-3=-2x+3y-4 d’où y-3=2y+6+3y-4 ⇔ 4y=-5 ⇔ y=-5/4
Et x=-y-3=5/4-3=-7/4
Donc z=-7/4-i5/4
Exercice 4 :
1) si z est solution de z^4=-4 alors (-z)^4=(-1)z^4=z^4=-4 donc -z est aussi solution.
De plus z*²=x²-y²-2ixy=(z²)*
Donc z*^4=(z*²)²=((z²)*)²=((z²)²)*=(z^4)*=-4*=-4
donc z* est aussi solution de z^4=-4
2) (1+i)^4=((1+i)²)²=(1-1+2i)²=(2i)²=-4
Donc 1+i est solution de z^4=-4
3) D'après le 1), -z, z* et -z* sont solutions donc les 3 autres solutions sont :
z2=-1-i
z3=1-i
z4=-1+i