Geijutsu

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Bonjour,

Soit la suite (uₙ) définie sur ℕ par uₙ = 3ⁿ
Alors ∀n∈ℕ, uₙ₊₁-uₙ = 3ⁿ⁺¹-3ⁿ = 3ⁿ×3-3ⁿ = 3ⁿ(3-1) = 2×3ⁿ ≥ 0
Donc (uₙ) est croissante.

Soit la suite (uₙ) définie sur ℕ par uₙ = 1/(n+1)
Alors ∀n∈ℕ, uₙ₊₁-uₙ = (1/(n+1+1))-(1/(n+1)) = (1/(n+2))-(1/(n+1)) = (n+1-(n+2))/((n+2)(n+1)) = (n+1-n-2)/((n+2)(n+1)) = -1/((n+2)(n+1))
Or ∀n∈ℕ, n+2 ≥ 0 et n+1 ≥ 0, d'où (n+2)(n+1) ≥ 0
D'autre part, -1 ≤ 0
Ainsi, ∀n∈ℕ, -1/((n+2)(n+1)) ≤ 0, d'où uₙ₊₁-uₙ ≤ 0
Donc (uₙ) est décroissante.