Réponse :

J'ai l'impression que tu as de sérieuses difficultés en maths.

Explications étape par étape

Exercice classique d'application du cours ,les seules erreurs possibles sont des erreurs de calcul (étourderies)

f(x)=(4-x)(e^x)-2

1a)Cette fonction est définie sur R , on va  donc s'intéresser à son comportement en -oo et +oo

si x tend vers -oo, 4-x tend vers +oo ,e^x tend vers 0 d'après le th des croissances comparées (4-x)e^x tend vers 0 et f(x) tend vers 0-2=-2.

si x tend vers +oo, (4-x) tend vers -oo et e^x tend vers +oo donc f(x) tend vers (-oo)*(+oo)=-oo  le terme -2 étant négligeable.

1b)Asymptote: la droite d'équation y=-2 est une asymptote horizontale.

2)Dérivée f(x) est de la forme u*v sa dérivée est donc u'v+v'u avec u=4-x   u'=-1  et v=e^x    v'=e^x

f'(x)=-1(e^x)+(e^x)(4-x)

on factorise e^x;   f'(x)=(e^x)(3-x)

cette dérivée s'annule pour x=3 et elle est du signe de 3-x car e^x est tjrs>0

b) tableau de signes de f'(x) et de variations de f(x)

x      -oo                           3                              +oo

f'(x)..................+....................0...............-....................

f(x)  -2.......croi....................f(3)............décroi..........-oo

f(3)=(4-3)*e³ -2=e³-2=18 (environ)

3) tangente au point d'abscisse x=2 on applique la formule

(T)  y=f'(2)(x-2)+f(2) on remplace ,développe et réduit pour avoir une forme réduite y=ax+b

y=(e²)(3-2)(x-2)+(4-2)e² -2

y=(e²)x-2e²+2e²-2=(e²)x-2

y=(e²)x - 2