Réponse :

Bonsoir

Explications étape par étape

Partie A :

Je suppose qu'il s'agit de déterminer graphiquement !!

lim f(x)=2

x--->-inf

lim f(x)=2

x--->+inf

La droite y=2 est asymptote à la courbe Cf en -infini et +infini.

Partie B :

La limite d'une fraction rationnelle  en -inf et +inf est celle du quotient des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur.

lim f(x)=2x²/x²=2

x-->-inf

lim f(x)=2x²/x²=2

x-->+inf

Partie C :

Tant que ((2n²-3n+3)/(n²-3n+5)) > 2.01

Je l'ai fait avec un tableur et j'ai trouvé n=31 qui donne f(31)=2.0985..

Partie D :

Graphiquement il semble que l'on puisse l'affirmer.

Mais  par le calcul , il faut calculer f(0)=3/5 et montrer que :

f(x) ≥ 3/5 soit :

(2x²-3x+3)/(x²-3x+5) ≥ 3/5 soit :

5(2x²-3x+3) ≥ 3(x²-3x+5)

10x²-15x+15 ≥ 3x²-9x+15

7x²-6x ≥ 0--->inéquation  (1)

x(7x-6) ≥ 0

Donc les racines de 7x²-6x sont 0 et 6/7.

Et le binôme 7x²-6x est donc ≤ 0 sur [0;6/7]

L'inéquation  (1) n'est pas vérifiée et f(x) n'admet pas de minimum en 0.

Regarde le graph joint : le minimum est plutôt atteint pour x proche de 0.5.