Réponse :

Explications étape par étape :

La suite (u) est définie par :

[tex]u_0=1\\u_{n+1}=u_ne^{-u_n}=\frac{u_n}{e^{u_n}}[/tex]

1/

Initialisation

[tex]u_0=1\\u_1=u_0*e^1=\frac{1}{e} < u_0 \\0 \leq u_1 \leq < u_0 \leq < 1[/tex]

Hérédité

On remarque que :

[tex]u_{n+1}=f(u_n})\\f(x)=\frac{x}{e^x}[/tex]

Hypothèse de récurrence : on suppose qu'il existe un entier naturel l tel que :

[tex]0\leq u_{n+1}\leq u_n\leq 1[/tex]

et on va démontrer que :

[tex]0\leq u_{n+2}\leq u_{n+1}\leq 1[/tex]

Sur l'intervalle [0;1] la fonction f est croissante car sa dérivée est :

[tex]f'(x)=\frac{e^x-xe^x}{(e^x)^2} =\frac{e^x(1-x)}{e^x*e^x} =\frac{1-x}{e^x}[/tex]

[tex]e^x > 0\\1-x\geq 0\\\frac{1-x}{e^x} \geq 0\\f'(x)\geq 0[/tex]

[tex]f(0)=\frac{0}{e^0} =0\\f(u_{n+1})=u_{n+2}\\f(u_n)=u_{n+1}\\f(1)=\frac{1}{e^1} \leq 1\\0\leq u_{n+2}\leq u_{n+1} \leq 1[/tex]

La propriété est héréditaire

Conclusion :

La proposition est initialisée et héréditaire donc, d'après le prinicipe de récurrence, elle est vraie pour tout entier naturel n :

[tex]0\leq u_{n+1}\leq u_n\leq 1[/tex]

2/ La suite (u) est décroissante et minorée par 0, elle est donc convergente vers une limite réelle L telle que :

[tex]0\leq L[/tex]

Comme d'autre part la suite(u) est majorée par 1 (suite bornée), on peut dire que

[tex]0\leq L\leq 1[/tex]

3/A l'infini,

[tex]u_{n+1}=u_n=L\\\frac{u_n}{e^{u_n}}= u_n=L\\\frac{L}{e^L}=L\\ e^L =1\\L=0[/tex]