Explications étape par étape:

1- Pour le centre de gravité G, tu sais que GA + GB + GC = 0 par définition, tu auras les coordonnées de G. Pour l'orthocentre H, c'est L'intersection des hauteurs issues de chaque point, coupant chaque côté. Tu supposes que ces hauteurs sont des droites, tu dois trouver leurs équations (pense aux vecteurs normaux) et résoudre le système (tu trouves (2;3) en coordonnées si ma mémoire est bonne.

Pour le centre du cercle circonscrit, même chose, sauf que cette fois les droites ne passent plus par chaque point du triangle, mais par les milieux de chaque côté, il faut juste ne pas se mélanger les pinceaux. Tu devrais trouver (4;3) je crois.

2- Pour le prouver, montrer GH et GI sont colineaires.

1- Utiliser Chasles en décomposant MA en MG + GA, BC en BG + GC et continuer en décomposant les autres termes avec G partout (tu fais pareil pour chaque produit scalaire), à la fin tu auras 0.

2- Tu remplaces M par H et tu as le droit car l'égalité est valable pour tout point du plan. Par définition, H étant l'orthocentre, tous les produits scalaires seront nuls. Tu prouveras que les hauteurs admettent un point commun H (par alignement), donc les hauteurs seront concourantes.

3- Utiliser la définition de u.v = u x v x cos (u, v) et prouver que si le cos vaut 0, alors on a une absurdité, et conclure que u vaut 0.

4- Utiliser les milieux des segments et bien décomposer avec Chasles et la question 3.

5- Décomposer avec Chasles le terme à droite on a IA + IB + IC = 3IG donc IG et IH colineaires donc I, G et H alignés.