(o,i,j) est un repère orthonormal du plan. Un droite "d" de coefficient directeur "a" supérieur ou égal à 0 passant par A(0;1) coupe en M(x;y) le demi cercle de centre O et de rayon 1 situé au-dessus de l'axe des abscisses. On nomme N la projection orthogonale de M sur l'axe des abscisses. Déterminer pour quelles valeurs de "a" le trapèze OAMN a une aire maximale.
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Voyez le dessin. (au dessous j'ecris pi & sqrt{3} car je ne peux pas utiliser les symboles. notez svp.
x^2 + y^2 = 1 - l'equation du cercle.
On dit que, 0 <= a <= 1, parce que, a = 0 , pour le droite rouge dans le dessin, et, a = 1 , pour le droite vert.
On trouve le M(x,y) par a = (y-1) / (x-0)
Donc, y = ax + 1 - c'est l'equation du "d" ---- (1)
le point M(x,y) est sur le cercle et egalement sur le droite.
x^2 + (ax+1)^2 = 1 -- on utilisant (1)
=> (a^2+1) x^2 + 2ax + 1 = 1
=> x = 0 ou x = -2a /(1+a^2) du point M.
et y du point M = 1 - 2 a^2/(a^2+1) = (1-a^2)/(1+a^2)
l'aire du trapeze OAMN = (1+y)* | x | / 2
= [ 1 + (1-a^2)/(1+a^2) ] (2a/(1+a^2) / 2
L’aire = 2 a /(1+a^2)^2 ---- (2)
si on met, a = tan t
l'aire du trapeze OAMN = 2 tan t /sec^4 t
= 2 sin t * cos^3 t = sin 2t * (1+cos 2t)/2 = 1/2 sin 2t + 1/4 sin 4t
On calcule la derivee de l’aire (calculus) en t et calcule le valeur de "t" quand la derivee est zero.
Donc, cos 2 t + cos 4t = 0
2t = pi - 4t , => t = pi/6
=> a = tan t = 1/sqrt{3}
l'aire maximum = (2/sqrt{3}) / (4/3)^2
= 2 * 9 /(16*sqrt{3}) = 3 sqrt{3}/8
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Si on calcule le derivee de l’expression de l’aire en (2), et trouve le valeur de “a” quand la derviee est egal a zero : pour la valeur maximum.
2/(1+a^2)^2 - 2* 2 a (2a ) / (1+a^2)^3 = 0 pour le valeur max
(1+a^2) – 4 a^2 = 0
1 = 3 a^2 => a = 1/ sqrt{3}
Donc, l’aire maximum = 3 sqrt{3} / 8