Réponse :

Em :   (m - 1) x² - 2 x + 1 - m = 0

démontrer que pour tout m ≠ 1, l'équation Em a deux solutions distinctes x1 et x2 de signes contraires

Δ = 4 - 4(m- 1)² = (2 - 2(m - 1))(2 + 2(m - 1)) = m (4 - 2 m) = 2 m(2 - m)

pour qu'il y ait deux solutions distinctes il faut que  Δ > 0  ⇔ 2 m(2 - m) > 0

  m       - ∞             0               2              + ∞  

2m                  -       0       +               +

2 - m               +                +      0       -

P                      -       0      +       0       -

il faut que  0 < m < 2   ou  m ∈ ]0 ; 2[   avec m ≠ 1

pour que x1 et x2 soit de signes contraires il faut  P = x1 * x2 < 0

pour m = 0.5

- 0.5 x² - 2 x + 0.5 = 0

Δ = 4 + 1 = 5  ⇒ Δ > 0  donc  on a deux racines distinctes

x1 = 2+√5)/- 1 = - 2 - √5

x2 = 2 - √5)/- 1 = - 2 + √5

P = x1*x2 = (- 2 - √5)(- 2 + √5) = 4 - 5 = - 1 < 0  donc x1 et x2 sont de signes contraires

Explications étape par étape