Bonjour pourriez-vous m’aider pour ce Dm de maths s’il vous plaît ?

Devoir maison n°4
Exercice 1:
On dit qu'une fonction f est deux fois dérivable sur R lorsqu'elle est dérivable et que sa fonction
dérivée est également dérivable. On appelle dérivée seconde la fonction dérivée de f' et on la
note f".
1) Soit r un nombre réel. Donner l'expression de la dérivée seconde de la fonction x : → ex
définie sur R.
2) Déterminer les valeurs possibles de r de sorte que les fonctions de la forme x: → ex
vérifient la relation suivante :
f"(x) = f'(x) + f(x) pour tout x réel
3) On note ₁ et ₂ les deux réels trouvés en question 2. Montrer que toutes les fonctions de la
forme x sex + s'ex (où s et s' sont deux réels) vérifient la relation de la question 2.
4) On admet que toute fonction vérifiant la relation de la question 2 est nécessairement de la
forme x sex + s'ex.
Soit f une fonction vérifiant la relation en question 2. Exprimer s et s' en fonction de
f(0) et f'(0).
Exercice 2:
1) Soit y un réel strictement positif. On admet que l'équation e* = y d'inconnue x admet au
moins une solution. Montrer que celle-ci est unique.
2) D'après la question 1, l'équation e* = y d'inconnue x admet une unique solution pour tout
y strictement positif. Cette solution dépend nécessairement du y fixé au départ. On construit
donc une fonction f: y → f(y) définie sur R vérifiant ef(y) = y.
Montrer que pour tout u et v strictement positifs, on a :
f(1) = -f(u) et f(uv) = f(u) + ƒ (v).