Bonjour,

1) si m=0, alors l'équation devient:

L'unique solution est 1

2) Supposons à partir de maintenant que m est différent de 0

a)

b) Pour que admette au moins une solution réelle nous devons avoir son discriminant positif ou nul, donc

Cela veut dire que

c) Pour qu'il y ait deux solutions distinctes il faut de plus que le discriminant soit différent de 0 donc

Et, dans ce cas, le produit des racines est c/a, donc

et la somme est -b/a

Le produit est égale à la somme.

Merci

Réponse :

ex2

soit l'équation (Em) : - m x² + (- 3 - 3 m) x + 3 m + 3 = 0  avec m ∈ R

1) si m = 0 que peut-on dire de l'équation ? résoudre alors cette équation (E0)

  si  m = 0  ⇒ (E0) : - 3 x + 3 = 0  c'est une équation du 1er degré

   -3 x + 3 = 0 ⇔ - 3 x = - 3  ⇔ x = 3/3  ⇔ x = 1

2) soit m ≠ 0

       a) Montrer que le discriminant Δ peut se mettre sous la forme :

                  Δ = 3(7 m² + 10 m + 3)

        - m x² + (- 3 - 3 m) x + 3 m + 3 = 0   ⇔ - m x² - 3(1 + m) x + 3(m + 1) = 0

          Δ = (3(1+m))² + 12 m(m+1) = 9(1 + 2 m + m²) + 12 m² + 12 m

              = 9 + 18 m + 9 m² + 12 m² + 12 m = 21 m² + 30 m + 9

              = 3(7 m² + 10 m + 3)

         b) pour quelles valeurs de m l'équation (Em) n'admet pas de solutions

       Δ < 0  ⇔ 3(7 m² + 10 m + 3) < 0

           δ = 100 - 84 = 16 ⇒ √16 = 4

          m1 = - 10 + 4)/14 = -6/14 = - 3/7

          m2 = - 10 - 4)/14 = - 1

donc  pour   m > - 1   ou m < - 3/7   ⇔   - 1 < m < - 3/7   (Em) n 'a pas de solutions

     c) pour quelles valeurs de m l'équation (Em) admet deux solutions distinctes ?

          Δ > 0 ⇔ 3(7 m² + 10 m + 3) > 0

    pour  m ∈ ]- ∞ ; - 1[U]- 3/7 ; + ∞[  l'équation (Em) admet deux solutions distinctes

quel est alors le produit et la somme des racines en fonction de m

P = c/a = 3(m +1)/- m = - 3(m + 1)/m = - 3  - 3/m

S = - b/a = 3(1+m)/- m = - 3 - 3/m  

Explications étape par étape