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Bonjour,

1) U₀ = 2 ≥ 2 donc propriété vérifiée au rang  n = 0

On suppose qu'au rang k : Uk ≥ 2

au rang (k + 1) :

Uk+1 - 2 = [Uk² - 2(Uk - 1)]/(Uk - 1)

= (Uk² - 2Uk + 2)/(Uk - 1)

soit f(x) = (x² - 2x + 2)/(x - 1) définie sur I = [2;+∞[

f'(x) = [(2x - 2)(x - 1) - (x² - 2x + 2)]/(x - 1)² = (x² - 2x)/(x - 1)² = x(x - 2)/(x - 1)²

⇒ f'(x) > 0 sur I ⇒ f strictement croissante sur I et f(2) = 2

⇒ ∀ x ∈ I, f(x) ≥ 2

⇒ Uk+1 - 2 ≥ f(Un) ≥ 2

⇒ Uk+1 ≥ 4 donc ≥ 2

⇒ hérédité démontrée

2) Un+1 - Un = [Un² - Un(Un - 1)]/(Un - 1) = 1/(Un - 1) > 0 car Un - 1 ≥ 1

⇒ (Un) croissante

3) On suppose lim Un = l

alors lim Un+1 = l

Or lim Un+1 = lim Un²/(Un - 1) = lim Un²/lim (Un - 1) = l²/(l - 1)

⇒ l = l²/(l - 1)

⇔ l² - l = l²

⇔ l = 0

Or : ∀ n ∈ N, Un ≥ 2 ⇒ impossible

4) On suppose qu'il existe a ∈ R / ∀ n ∈ N, Un ≤ a

(Un) est croissante ⇒ ∀ n ∈ N, Un ≤ Un+1 ≤ a

⇒ impossible ⇒ (Un) n'est pas majorée

⇒ lim Un = +∞