1)

a) Le triangle est isocèle en A : AB = AC = 2y

                                                    BC = 2x

le périmètre est 2y + 2x  il vaut 8 (cm)

2x + 2y = 8

x + y = 4 (1)

b) Soit H le pied de la hauteur issue de A. Le triangle est isocèle, H est le milieu de BC

le triangle AHB est rectangle en H

AH = 2   AB = y   BH = x

Th de Pythagore

AB² = BH² + HA²

y² = x² + 2²    (2)

on résout le système

x + y = 4 (1)   et  y² = x² + 2²    (2)

(2)   <=> y² - x² = 4

(2)              (y - x)(y + x) = 4

on remplace x + y par 4

(2) devient (y - x)(4) = 4   soit y - x = 1

d'où y - x = 1 et y + x = 4

par addition m à m

2y = 5

y = 2,5 (cm)

et x = 1,5 (cm)

2) I est le milieu de [AH], (IE) est parallèle à HC

Les triangles AIE et AHC sont homothétiques, le rapport d'homothétie est AI / AH = 1/2

AE / AC = 1/2   et IE / HC = 1/2

AE = 2,5 / 2 = 1,25 (cm)

IE = 1,5 / 2 = 0,75 (cm)