bonjour

1 - calculer  - si tu n'y arrives pas de tête, tu prends ta calculatrice :

1x2x3x4x + 1 = 25

2x3x4x5+1 = 121

3x4x5x6+1 = 361

2)

25 = 5²

121 = 11²

361 = 19²

la conjecture semble correcte

3)

p = n (n+1) (n+2) (n+3)

a) (n+1) (n+2) = n² + 2n + n + 2 = n² + 3n + 2 = n (n+3) + 2

b) on pose a = (n+1) (n+2)

selon le a) a = (n+1) (n+2) =  n (n+3) + 2

donc a - 2 = n (n+3) + 2 - 2

a - 2 = n (n+3)

et p + 1 = n (n+1) (n+2) (n+3) + 1

p + 1 = (n+1) (n+2) n (n+3) + 1

comme (n+1) (n+2) = a

et n (n+3) = a - 2, on a :  

p + 1 = a (a-2) + 1

p + 1 = a² - 2a + 1 = (a - 1)²

4) comme n (n+1) (n+2) (n+3) + 1 = (a - 1)², le résultat sera toujours un carré

5) nombre premier = nombre qui n'est divisible que par lui-même et 1.

mais je ne sais pas le démontrer