Ce sont les fonctions du type : [tex]x \mapsto \lambda \mathrm{e}^{2x} + \dfrac{5}{2}[/tex] sur [tex]\mathbb{K}[/tex] avec [tex]\lambda \in \mathbb{K}[/tex].
Explications étape par étape
Comme toujours, on commence par résoudre l'équation homogène :
[tex]y'=2y.[/tex]
Les solutions sont sous forme exponentielle : [tex]x \mapsto \lambda \mathrm{e}^{2x}[/tex] où [tex]\lambda[/tex] est une constante.
Il ne reste plus qu'à chercher une solution particulière. Pour cela, on utilise la méthode de variation de la constante, qui consiste à chercher une telle solution sous la forme [tex]x \mapsto \lambda(x)\mathrm{e}^{2x}[/tex] où [tex]\lambda[/tex] est une fonction dérivable. En réinjectant dans l'équation, on obtient :
Il faut donc trouver une primitive du membre de droite, ce qui n'est pas compliqué puisqu'il s'agit d'une simple exponentielle : [tex]x \mapsto \frac{5}{2}\mathrm{e}^{-2x}[/tex] convient.
Comme solution particulière, on peut donc prendre la fonction constante égale à 5/2.
En mettant tout ensemble, on trouve comme solutions les fonctions :[tex]\boxed{x \mapsto \lambda \mathrm{e}^{2x} + \dfrac{5}{2}, \, \lambda \in \mathbb{K}}[/tex]
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[tex]x \mapsto \frac{5}{2}\mathrm{e}^{-2x} \times \mathrm{e}^{2x} = \frac{5}{2}[/tex]Réponse :
Ce sont les fonctions du type : [tex]x \mapsto \lambda \mathrm{e}^{2x} + \dfrac{5}{2}[/tex] sur [tex]\mathbb{K}[/tex] avec [tex]\lambda \in \mathbb{K}[/tex].
Explications étape par étape
Comme toujours, on commence par résoudre l'équation homogène :
[tex]y'=2y.[/tex]
Les solutions sont sous forme exponentielle : [tex]x \mapsto \lambda \mathrm{e}^{2x}[/tex] où [tex]\lambda[/tex] est une constante.
Il ne reste plus qu'à chercher une solution particulière. Pour cela, on utilise la méthode de variation de la constante, qui consiste à chercher une telle solution sous la forme [tex]x \mapsto \lambda(x)\mathrm{e}^{2x}[/tex] où [tex]\lambda[/tex] est une fonction dérivable.
En réinjectant dans l'équation, on obtient :
[tex]\lambda'(x)\mathrm{e}^{2x} = -5 \iff \lambda'(x) = -5\mathrm{e}^{-2x}[/tex].
Il faut donc trouver une primitive du membre de droite, ce qui n'est pas compliqué puisqu'il s'agit d'une simple exponentielle : [tex]x \mapsto \frac{5}{2}\mathrm{e}^{-2x}[/tex] convient.
Comme solution particulière, on peut donc prendre la fonction constante égale à 5/2.
En mettant tout ensemble, on trouve comme solutions les fonctions :[tex]\boxed{x \mapsto \lambda \mathrm{e}^{2x} + \dfrac{5}{2}, \, \lambda \in \mathbb{K}}[/tex]