Réponse :

Explications étape par étape :

Dessine 2 patatoïdes qui se recouvre légérement.

Nomme le premier A, le second B

A est l'ensemble des points (du plan) contenu dans le 1er

B est l'ensemble des points (du plan) contenu dans le 2nd

A ∪ B est l'union des 2 "patatoïdes "

Ensemble des points contenus dans A OU B

Remarque : ou inclusif : un point peut appartenir aux deux

A ∩ B est l'intersection des 2 "patatoïdes "

Ensemble des points contenus dans A ET  B

¬A : non A,  Complémentaire de A, noté aussi A'

Ensemble des points hors de A

A - B est la différence de A et B :

Ensemble des points contenus dans A ET  PAS DANS B

A - B = A ∩ ¬B   (se lit :: dans A ET dans (pas B) )

A Δ B (A delta B) est la différence symétrique des 2 "patatoïdes "

Ensemble des points appartenant soit à  A , soit à  B, mais pas au deux

Remarque : ou exclusif : un point appartient à l'un ou à l'autre mais pas aux deux

Les points dans A ET pas dans B sont les points de :

A ∩ ¬B

Les points dans B ET pas dans A sont les points de :

B ∩ ¬A

Enfin :

(Les points dans A ET pas dans B) OU (Les points dans B ET pas dans A)  A Δ B = ( A ∩ ¬B )  ∪ ( B ∩ ¬A )   (égalité 1)

Démonstration demandée :

A ∪ B - A ∩ B =

= (A ∪ B) ∩ ( ¬ (A ∩ B ) )  

= (A ∪ B) ∩ ( ¬ A  ∪ ¬B )  distributivité de ∩ sur  ∪

Remarque : l'intersection se comporte par rapport à  l'union comme × la multiplication se comporte par rapport à + l'addition  : elle est distributive

a  x  ( b  + c) = a x  b   +    a x  c

A ∩ ( B ∪ C) = A ∩ B  ∪   A ∩ B

Dans notre cas :

A ∪ B - A ∩ B =

= (A ∪ B) ∩ ( ¬ A  ∪ ¬B )

= (A ∪ B) ∩ ( ¬ A )  ∪  (A ∪ B) ∩ ( ¬B )

=  B ∩ ( ¬ A )   ∪  A ∩ ( ¬B )

Finalement :

A ∪ B - A ∩ B =

= ( A ∩ ¬B )  ∪ (B ∩ ¬ A )

On reconnait l'égalité 1

Donc :

A ∪ B - A ∩ B = A Δ B