Réponse :

Explications étape par étape :

Bonjour,

Voici la réponse en pièce-jointe !

En espérant t'avoir aidé, n'hésite pas à poser des questions si besoin.

Réponse :

Explications étape par étape :

1) arcsin : fonction réciproque de sinus

à partir d'un réel considéré comme un sinus d'un angle x, renvoie l'angle x (radians)

Comme sin(x) renvoie une valeur comprise dans [-1 ; +1], à l'inverse,

arcsin(x) prend ses entrées (x) dans  [-1 ; +1] et renvoie un angle en (rd)  dans [-π/2 ; +π/2]

tan(x) = sin(x) / cos(x)

Enfin, quand je vois une racine, je vois un carré, et en trigo, on a la formule "de Pythagore" :

cos²(x) + sin²(x) = 1

On met ça de côté, ça pourra peut-être servir (on est au brouillon !)

Après ce bref rappel :

1)Démontrer : tan(arcsin(x)) = x / √(1-x²)

OK, supposons que c'est vrai. Comment se débarasser de la racine ? En élevant au carré des 2 côtés

[ tan(arcsin(x)) ]² = x² / (1-x²)

Alors, bon, faut se lancer. uand cette expression est définie,

x est un sinus, ok ? Dit autrement :

arcsin(x) = a ⇒ x = sin(a)

Donc :

1-x² = 1-sin(a)² = cos(a)²

Donc:

x² / (1-x²) = sin(a)² / cos(a)²

Ca, c'est pour le membre de droite.

Et à gauche ?

[ tan(arcsin(x)) ]²  = tan(a) ² = (sin(a)/ cos(a))²

[ tan(arcsin(x)) ]²  =  sin(a)² / cos(a)²

[ tan(arcsin(x)) ]²  =  x² / (1-x²) pour x dans  [-1 ; +1] ET 1-x² ≠ 0 c-à-d

x dans  ] -1 ; +1[

Finalement :

On vient de démontrer l'égalité

tan(arcsin(x)) = x / √(1-x²)  valable pour x dans ] -1 ; +1[

2) tu fais pareil . ou bien changement de variable

arccos(x) , fonction réciproque de cos(a) sur [0 ; π ]

C'est à dire : pour tout x dans [-1 ; +1]  , arccos (x) = a , a dans [0 ; π ] et cos(a) = x

Démontrer (2)     tan(arccos (x)) =  √(1-x²) / x   pour x non nul

On remarque que c'est l'inverse de la précédente.

Ok : on fait comme 1)

Posons a = arccos (x) donc x = cos(a)

Démontrer (2) ⇔

tan(a) =  √(1-cos²(a)) / cos(a) ⇔

tan²(a) =  (1-cos²(a)) / cos²(a) ⇔

sin²(a)/cos²(a) = sin² (a) / cos²(a)  ⇔ toujours vrai

Donc : on a démontré que :

tan(arccos (x)) =  √(1-x²) / x   pour x dans  [-1 ; 0[  ∪ ]0 ; +1]

3) idem :

arctan(x) : pour tout réel x , il existe  un et un seul réel a

dans ] -π/2 ; +π/2  [ tel que tan(a) = x

Démontrer (3) cos( arctan(x) ) = 1/√(1+x²)

Posons a = arctan(x)  et x=tan(a)

Alors :

cos( arctan(x) ) = 1/√(1+x²)  ⇔

cos( a ) = 1/√(1+tan(a) ²)      (équation 3)

on a :

1+tan(a) ² =  1+ sin ² (a) / cos ² (a)

= cos ² (a) / cos ² (a)       +       sin ² (a) / cos ² (a)

= (cos ² (a) + sin ² (a) )  / cos ² (a)

=1/ cos ² (a) donc :

√(1+tan(a) ²) = √(1/ cos ² (a))  = 1/ |cos(a)|

a étant dans ] -π/2 ; +π/2  [ , alors cos(a) est positif. Donc :

√(1+tan(a) ²) =  1/cos(a)

Finalement (équation 3) :

cos( a ) = 1/√(1+tan(a) ²)  ⇔

cos( a ) = 1/ (1/cos(a)) = cos (a).

C'est donc toujours vrai, pour 1+x² non nul, ce qui est le cas quelquesoit x.

4) idem : démontrer :

sin ( arctan(x) ) = x/√(1+x²)

Posons a = arctan(x)  et x=tan(a)

Alors :

sin ( arctan(x) ) = x/√(1+x²) ⇔

sin (a) = tan(a) / √(1+tan(a) ²)

On a vu précédemment que :

√(1+tan(a) ²) =  1/cos(a)

Donc :

sin (a) = tan(a) / √(1+tan(a) ²)  ⇔

sin (a) = tan(a) / (1/cos(a)       Diviser par 1/cos(a), c'est multiplier par cos(a)

sin (a) = tan(a) / (1/cos(a)  ⇔

sin (a) = tan(a) . cos(a)

sin (a) = cos(a). sin(a)/cos(a)

sin (a) = sin (a) . Ceci est toujours vrai, donc :

sin ( arctan(x) ) = x/√(1+x²)    qqsoit x, puisque le deno. ne peut etre nul.