Réponse :

Explications étape par étape :

Définition "constructive" :

Le produit cartésien (noté × ) de 2 ensembles E₁ et E₂ est l'ensemble de TOUS LES COUPLES (x,y) avec x ∈ E₁  et y ∈ E₂

1) Représentations dans le plan

L'ensemble-produit de

[1;2] ×  [-1;2;0;8] est : { (1;-1) ;(1;2) ;(1;0) ;(1;8) ;(2;-1) ;(2;2) ;(2;0) ;(2;8) }

si je devais le représenter dans le plan cartésien, cet ensemble serait composé de 8 points (2 fois 4) ; les 4 premiers sur la "verticale" x=1 , les 4 autres sur la verticale x=2 . Les points sur les 2 verticales se font face horizontalement aux "altitudes" -1;2;0;8  : une forme de grille, en somme.

L'ensemble-produit de

{1} ×  R est : { ∀ y∈  R :  (1;y)  }

si je devais le représenter dans le plan cartésien, cet ensemble serait  la droite "verticale" x=1

L'ensemble-produit de

 R × {-1 ; 2}  est : { ∀ x ∈  R :  (x;  -1)  ;(x;  2) }

si je devais le représenter dans le plan cartésien, cet ensemble serait  l'union des droites "horizontales"  y= -1 et y= 2

L'ensemble-produit de

 [0;+ ∞ [ × ]-∞ ; 1  [  est : {  x et y réels, x≥ 0 et   y< 1 :  (x; y) }

si je devais le représenter dans le plan cartésien, cet ensemble serait  l'intersection de 2 demi-plans : le demi-plan A DROITE de l'axe verticale des y (équation x=0) DROITE COMPRISE , intersection AVEC le demi-plan  EN DESSOUS de la droite horizontale y=1 , DROITE EXCLUE

(Fais le en hachurant)

On obtient : un quart de plan bornée par les droites x=0 et y=1 .

Le quart est en bas à droite, hachuré,  et la partie frontière de l'axe vertical x=0 est "en gras", car incluse dans l'ensemble-produit.

2) Est-ce un produit cartésien  du genre A × B ?

Quand on voit un rectangle aux côtés // aux axes, plein ou creux, quand on voit une grille aux axes  // aux axes , ça sent le produit cartésien.

Remarque : je ne vois pas sur les schémas si les "bords" sont inclus ou exclus . Comme il n'y a pas d'indication, je considère que les bords sont toujours inclus.

a)  oui : une partie rectangulaire du plan comprise entre 2 droites verticales et 2 droites horizontales est un ensemble-produit :

tous les points {d'abscisse x dans un intervalle X } × {d'ordonnée y dans un intervalle Y}

E : [1 ; 2]  ×  [-0,5 ; 0,5]

A= [1 ; 2]

B= [-0,5 ; 0,5]

b) oui :

• chaque pavé est un rectangle aux côtés // aux axes.
• ces pavés ont en commun l'intervalle X de leurs abscisses
• Et l'union de 2 produits cartésiens X × Y₁  ∪ X × Y₂ est le prod.cart.
  X × ( Y₁  ∪  Y₂ )

ici :

Premier pavé :

E₁ : [1 ; 2]  ×  [ -1 ; 0]

E₂ : [1 ; 2]  ×  [ 0,5 ; 1]

Or , E = E₁ ∪ E₂  donc

E = ( [1 ; 2]  ×  [ -1 ; 0] ) ∪  ([1 ; 2]  ×  [ 0,5 ; 1] )

E = [1 ; 2]  × ( [ -1 ; 0] ∪ [ 0,5 ; 1] )

A = [1 ; 2]

B = [ -1 ; 0] ∪ [ 0,5 ; 1]

c) oui ? non !

Le rectangle correspond au bord du premier pavé.

C'est l'union des 4 segments, 2 horizontaux et 2 verticaux

E₁ : [ 1 ; 2 ]  ×  { -0,5 ; 0,5 } pour les horizontales

E₂ : {1 ; 2 }  ×  [ -0,5 ; 0,5 ] pour les verticales

Tu vois la différence entre [ 1 ; 2 ] et {1 ; 2 }  ?

Dans le premier cas : [ 1 ; 2 ] : intervalle de "l'infinité" des réels entre 1 et 2, bornes comprises.

Dans le 2e cas :  {1 ; 2 } : 2 valeurs et deux valeurs seulement

Donc :

E = E₁ ∪ E₂

E = ( [ 1 ; 2 ]  ×  { -0,5 ; 0,5 } ) ∪ ( {1 ; 2 }  ×  [ -0,5 ; 0,5 ] )

Alors, est-ce factorisable ? Parce que pourque ce soit un produit cartésien, à la fin, il faut que E s'écrive sous la forme A × B .

Or, E = (X × Y)   ∪  (Z × T) avec des ensembles tous différents.

E n'est pas un ensemble-produit.

d) oui

L'ensemble est composé de 4 points :

E = { (1; -0,5) ; (1; +0,5) ; (2; -0,5) ; (2; +0,5) }

E =  { (1; -0,5) ; (1; +0,5) }  ∪  { (2; -0,5) ; (2; +0,5) }

{ (1; -0,5) ; (1; +0,5) }  = { 1 } × {  -0,5 ; 0,5 }

{ (2; -0,5) ; (2; +0,5) }  = { 2 } × {  -0,5 ; 0,5 }

Donc :

E = { 1 } × {  -0,5 ; 0,5 }  ∪ { 2 } × {  -0,5 ; 0,5 }

C'est factorisable :

E = ( { 1 } ∪ { 2} ) × {  -0,5 ; 0,5 }

E = { 1  ; 2} × {  -0,5 ; 0,5 }

A= { 1  ; 2}

B= {  -0,5 ; 0,5 }