Bonjour tout le monde je suis en terminale S et j’ai un dm de maths à rendre pour vendredi ça fais déjà quelques jours que j’essaie mais je n’arrive pas à faire cet exercice quelqu’un pourrait m’aider ? Je remercie d’avance les personnes qu’il m’aideront bonne fin de journée ;)
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Réponse : Bonjour,
a) D'après l'algorithme,
.
b) Pour tout entier naturel n,
.
c) Je calcule à la main, mais vous pouvez programmer l'algorithme.
d) On peut conjecturer que la suite
est croissante.
e) Démontrons par récurrence que la suite
est croissante, c'est à dire que pour tout entier naturel n, 
.
Initialisation: Pour n=0,
, donc la propriété est vérifiée à l'ordre n=0.
Hérédité: Supposons la propriété vraie à l'ordre n, c'est à dire que
, et montrons là à l'ordre n+1, donc que 
.
Étudions les variations de la fonction f.
Pour cela, on calcule la fonction dérivée f':
x
+∞
f'(x) ║ +
f(x) Ф (croissante)
La fonction f est définie sur l'intervalle
, car la fonction racine carrée est définie sur [0;+∞[.
D'après l'hypothèse de récurrence:
La propriété est vérifiée à l'ordre n+1, donc pour tout entier naturel n,
, donc la suite 
est croissante.