Bonjour tout le monde je suis en terminale S et j’ai un dm de maths à rendre pour vendredi ça fais d.... Pergunta de ideia dejustine77182

October 2020 1 52 Report

Bonjour tout le monde je suis en terminale S et j’ai un dm de maths à rendre pour vendredi ça fais déjà quelques jours que j’essaie mais je n’arrive pas à faire cet exercice quelqu’un pourrait m’aider ? Je remercie d’avance les personnes qu’il m’aideront bonne fin de journée ;)

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godetcyril

Réponse : Bonjour,

a) D'après l'algorithme, $u_{0}=1$ .

b) Pour tout entier naturel n, $u_{n+1}=\sqrt{3u_{n}+1}$ .

c) Je calcule à la main, mais vous pouvez programmer l'algorithme.

$u_{0}=1\\u_{1}=\sqrt{3u_{0}+1}=\sqrt{3+1}=\sqrt{4}=2\\u_{2}=\sqrt{3u_{1}+1}=\sqrt{3 \times 2+1}=\sqrt{7}\\u_{3}=\sqrt{3u_{2}+1}=\sqrt{3\sqrt{7}+1} \approx 2,99\\u_{4}=\sqrt{3u_{3}+1}=\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{7}+1}+1} \approx 3,16$ .

d) On peut conjecturer que la suite $(u_{n})$ est croissante.

e) Démontrons par récurrence que la suite $(u_{n})$ est croissante, c'est à dire que pour tout entier naturel n, $u_{n} \leq u_{n+1}$ .

Initialisation: Pour n=0, $u_{0} \leq u_{1}$ , donc la propriété est vérifiée à l'ordre n=0.

Hérédité: Supposons la propriété vraie à l'ordre n, c'est à dire que $u_{n} \leq u_{n+1}$ , et montrons là à l'ordre n+1, donc que $u_{n+1} \leq u_{n+2}$ .

$u_{n+1}=\sqrt{3u_{n}+1}$ , donc $u_{n+1}=f(u_{n})$ , avec $f(x)=\sqrt{3x+1}$ .

Étudions les variations de la fonction f.

Pour cela, on calcule la fonction dérivée f':

$f'(x)=\frac{3}{2\sqrt{3x+1}}$ .

$f'(x) \geq 0$ , sur son domaine de définition, donc on a le tableau suivant:

x $-\frac{1}{3}$ +∞

f'(x) ║ +

f(x) Ф (croissante)

La fonction f est définie sur l'intervalle $[-\frac{1}{3};+\infty[$ , car la fonction racine carrée est définie sur [0;+∞[.

D'après l'hypothèse de récurrence:

$u_{n} \leq u_{n+1}\\f(u_{n}) \leq f(u_{n+1}) \quad car \; f \; est \; croissante\\u_{n+1} \leq u_{n+2}$ .

La propriété est vérifiée à l'ordre n+1, donc pour tout entier naturel n, $u_{n} \leq u_{n+1}$ , donc la suite $(u_{n})$ est croissante.

godetcyril Bonsoir, dans le tableau de variations, la double barre et le zéro sont en dessous de -1/3, il y a eu un petit décalage. Cordialement.

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