1)

a) Distance de A à M

A(0;1)  M(x;y)   AM² = (x-0)² + (y-1)² = x²+(y-1)²

                      AM = √[x²+(y-1)²]

b) M est un point de (d)   y = x - 4

je remplace y par x-4 dans l'expression de cette distance : x²+(y-1)²

AM² = x² + (x-4-1)² = x² + (x-5)² =   je développe et réduis

AM² = 2x² - 10x + 25       AM = √(2x² - 10x + 25)

2)

a)  f définie sur R

le trinôme 2x² - 10x + 25 a pour discriminant ∆ =  (-10)² - 4 (2)(25)= -100

Il est négatif,   2x² - 10x + 25 ne s'annule pas, il garde toujours le signe du coefficient de x² qui est "+"

2x² - 10x + 25 est toujours positif et sa racine carrée est définie sur R

b) u(x) = 2x² - 10x + 25

u'(x) = 4x - 10     4x - 10 s'annule pour x = 2,5

                 -∞                                          2,5                                        +∞                                          

____________________________________________________

4x - 10                              -                        0                         +

u(x)          +∞     décroissante                  25        croissante               +∞

des nombres positifs et leurs carrés sont rangés dans le même ordre

f(x) décroît de +∞ à un minimum obtenu pour x =2,5 et recroît jusqu'à +∞

remarque: on sait que la distance de A à la droite sera minimale lorsque AM sera perpendiculaire à (d). On peut lire les coordonnées de ce point sur la figure (2,5;-1,5)