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Bonjour,

Ex 7)

1) u(1;3;2) et v(2;-3;3) dans la base (i,j,k)

2/1 = 2, -3/3 = -1 et 3/2 = 1,5 ⇒ coordonnées non proportielles ⇒ u et v non colinéaires.

u.v = 2x1 + (-3)x3 + 3x2 = -1 ≠ 0 ⇒ u et v non orthogonaux

2) w(x;y;z)

u.w = 0 ⇒ x + 3y + 2z = 0     (1)

v.w = 0 ⇒ 2x - 3y + 3z = 0    (2)

(1) + (2) ⇒ 3x + 5z = 0 ⇒ pour x = 1, z = -3/5

(1) devient : 1 + 3y - 6/5 = 0 ⇒ 3y = 1/5 ⇒ y = 1/15

⇒ w(1 ; 1/15 ; -3/5) ou w(15 ; 1 ; -9)

Ex 8) u(1;1;-1) et v(0;-2;1)

1) e₁(x;y;z) = k x u ⇒ x = k, y = k et z = -k

||e₁|| = 1 ⇒ √(x² + y² + z²) = 1 ⇒ x² + y² + z² = 1 ⇒ k² + k² + (-k)² = 1 ⇔ k² = 1/3

⇒ k = 1/√3 = √3/3 ou -1/√3 = -√3/3

⇒ par exemple : e₁(√3/3 ; √3/3 ; -√3/3)

2) x = αu + βv

⇒ x(α ; α - 2β ; -α + β)

x.u = 0 ⇒ α + (α - 2β) - (-α + β) = 0 ⇔ 3α - 3β = 0 ⇔ α = β

⇒ x(α ; -α ; 0)

||x|| = 1 ⇒ √[α² + (-α)²] = 1 ⇔ √(2α²) = 1 ⇒ 2α² = 1 ⇒ α = +/- √2/2

⇒ par exemple : e₂(√2/2 ; -√2/2 ; 0) ou e₂(1 ; -1 ; 0)

3) e₁(√3/3 ; √3/3 ; -√3/3) e₂(√2/2 ; -√2/2 ; 0)

e₃(x;y;z) tel que e₁.e₃ = 0 et e₂.e₃ = 0

⇒ x√3/3 + y√3/3 - z√3/3 = 0

et x√2/2 - y√2/2 = 0

⇔ x + y - z = 0 et x - y = 0

⇒ z = x + y = 2x

⇒ e₃(x ; x ; 2x)

Et de plus : ||e₃|| = 1 ⇒ √[1 + 1 + 4)x²] = 1 ⇒ 6x² = 1 ⇒ x = +/- √6/6

donc par exmple e₃(√6/6 ; √6/6 ; √6/3)