Réponse:

Exercice 2.

1.

Exprimons l'aire du triangle AMN de 2 façons :

Aire = base× hauteur ÷2

En considerant la base [AM] : Aire = AM×y ÷ 2

En considerant la base [AN] : Aire = AN× z ÷ 2

Donc AM×y ÷ 2 = AN× z ÷ 2

Ainsi en multipliant par 2 l'egalite AM×y = AN×z

2.

Les deux triangles BMN et CMN ont une meme base [MN] pour une meme hauteur h

Aire(BMN)= MN×h÷2

Aire (CMN) = MN×h÷2

Donc BMN et CMN ont des aires égales.

3.

Aire(ANB)= Aire(AMN) + Aire(BMN)

Aire(AMC)= Aire(AMN) + Aire(CMN)

Or BMN et CMN ont des aires égales.

Donc Aire(ANB)=Aire(AMC)

4.

Aire(ANB) = AB×y÷2

Aire(AMC)=AC×z÷2

et les 2 aires sont egales d'apres 4.

Donc AB×y=AC×z

5. on a AM×y = AN×z

et AB×y = AC×z

donc AM×y AN×z

--------- = ----------

AB×y AC×z

AM AN

d'où ------- = --------

AB AC

6.

7.

En considérant les triangles CEN, AEB et AMB, on démontrerait de meme que AEC et BNC ont la meme aire donc CN/AC = CE/CB

8a. CN = AC+AN et CE = BC+ BE

AC+AN BC+BE

------------- = ------------

AC BC

8b.

AC+AN BC+BE

------------- = ------------ equivaut à

AC BC

AC AN BC BE

------- + -------- = -------- + --------

AC AC BC BC

8c.

AN BE

1 + -------- = 1 + --------

AC BC

AN BE

d'ou ------- = --------

AC BC

9. On sait que (MN) est parallele à (BE)

et que (EN) est parallèle à (BM)

Donc MNEB est un parallelogramme.

Ses cotés opposés sont égaux 2 à 2 donc MN = EB

10.

AN BE

------- = -------- d'apres 8c. Donc, d'apres 9 :

AC BC

AN MN

------- = --------

AC BC

D'apres la question 5 on a

AM AN MN

------ = ------- = --------

AB AC BC