Bonjour,j’ai besoin d’aide pour l’exercice 95 s’il vous plait
Soit ABCD un triangle,M,N,P les milieux des cotés [AB],[AC] et [BC] , et Q le milieu de [MN].
Démontrer que Q est le milieu de [AP]:
a) en se plaçant dans le repère (A,B,C);
b)sans introduire de repère
Merci d’avance,au revoir
Soit ABCD un triangle,M,N,P les milieux des cotés [AB],[AC] et [BC] , et Q le milieu de [MN].
Démontrer que Q est le milieu de [AP]:
a) en se plaçant dans le repère (A,B,C);
b)sans introduire de repère
Merci d’avance,au revoir
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j'espère que cet exo n'est pas pour ce matin !!
a) On peut se passer des coordonnées des points non demandées et raisonner en écrivant les vecteurs AP et AQ en fonction des vecteurs repère AB et AC.
AP=AB+BP=AB+BC/2=AB+(BA+AC)/2)=AB-AB/2+AC/2=AB/2+AC/2
Donc vecteur AP=(1/2)(AB+AC)--->(1)
En vect : AQ=AM+MQ=AB/2+MN/2
Mais MN=MA+AN=-AB/2+AC/2 donc MN/2=-AB/4+AC/4 qui donne :
AQ=AB/2-AB/4+AC/4
AQ=AB/4+AC/4
donc AQ=(1/4)(AB+AC)---->(2)
(1) et (2) montrent , en vecteurs, que AQ=(1/2)AP
qui prouve que Q est milieu de [AP].
Avec les coordonnées des points :
A(0;0) - B(1;0) - C(1;1) - M(1/2;0) -N(0;1/2)-
AP=AB+BP=AB+BC/2=AB+(BA+AC)/2=AB-BA/2+AC/2=AB/2+AC/2
donc P(1/2;1/2)
AQ=AM+MQ=AB/2+MN/2
Comme M(1/2;0) -N(0;1/2) , alors MN( -1/2;1/2) soit MN=-AB/2+AC/2
et MN/2=-AB/4+AC/4
donc AQ=AB/2-AB/4+AC/4=AB/4+AC/4
donc Q(1/4;1/4)
Coordonnées de AP(1/2;1/2) et de AQ(1/4;1/4)
Donc 2AQ=AP ou AQ=AP/2
b) Théorème de la droite des milieux dans le triangle ABC donne :
(MN) // (BC) et MN=BC/2=BP donc MQ=BP/2--->(3)
Traçons la droite (AP) qui coupe (MN) en Q'.
On va montrer que Q' et Q sont confondus.
Comme (MN)//(BC) , on peut appliquer Thalès dans AMQ' et ABP.
AM/AB=AQ'/AP=MQ'/BP mais AM/AB=1/2
donc AQ'/AP= MQ'/BP=1/2 qui donne AQ'=AP/2 et MQ'=BP/2---->(4)
(3) et (4) montrent que Q et Q' sont confondus donc AQ=AP/2