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Réponse :

f(x) = x³ + x² - 5 x    définie sur R

1) déterminer la dérivée f ' de f

f est une fonction polynôme dérivable sur R  et sa dérivée f ' est :

f '(x) = 3 x² + 2 x - 5

2) en déduire les variations de f (on établira le tableau de variations)

tout d'abord il faut chercher le signe de f '

   Δ = 2² - 4*3*(-5) = 64  ⇒ Δ > 0  donc  on a 2 racines distinctes

x1 = - 2 + 8)/6 = 1

x2 = - 2 - 8)/6 = - 10/6 = - 5/3

            x      - ∞                         - 5/3                          1                       + ∞

         f '(x)                       +             0               -            0            +

variations     - ∞→→→→→→→→→→ 175/27→→→→→→→→→→ - 3 →→→→→→→→→ + ∞

de f(x)                  croissante                décroissante        croissante

3) la fonction f admet un minimum local en x = 1  et un maximum local en x = - 5/3

4) a) l'équation de la tangente  T  à Cf en x = 0  est

     y = f(0) + f '(0)x = - 5 x

b) position relative de Cf / T

f(x) - y = x³ + x² - 5 x - (- 5 x) = x³ + x² = x²(x + 1)   or x² ≥ 0  donc le signe de f(x) - y  dépend du signe de x + 1

    x      - ∞                               - 1                            + ∞

 x + 1                       -                 0                +

Cf/T                 Cf est en                      Cf est au dessus de T

                       dessous de T

5) a) déterminer tous les points dont les tangentes à Cf sont parallèles à la droite y = 4 x - 4

On écrit   f '(a) = 4    ⇔ 3 a² + 2 a - 5 = 4  ⇔ 3 a² + 2 a - 9 = 0

Δ = 4+108 = 112 > 0 ⇒ deux racines distinctes  et √112 = 4√7

a1 = - 2+4√7)/6 = (- 1 + 2√7)/3

a2 = (- 2 - 4√7)/6 = (- 1 - 2√7)/3

Explications étape par étape :