Bonjour,

Pour mieux comprendre cette correction, je vous invite dans un premier temps à regarder l'image en pièce jointe

On note s le côté du carré

Au point A on a : [tex]x_{A}=\frac{\pi}{2} -\frac{s}{2}[/tex] et [tex]y_{A}=s[/tex]

Puisque le point A appartient à la courbe y = sin(x) on a :

[tex]s = sin(\frac{\pi}{2} -\frac{s}{2})[/tex]

[tex]\Leftrightarrow cos(\frac{s}{2} )=s \Leftrightarrow s \approx 0,900367[/tex]

Or Aire d'un carré = côté × côté

Donc ici [tex]A\approx0,900367^{2} \approx0,81[/tex]

Réponse :

Explications étape par étape :

Nommons ce carré ABCD avec les coordonnées suivantes :

• A (a ; 0)
• B (b ; 0)
• C (b ; sin(b))
• D ( a ; sin(a))

avec  0<= a < b <= π

Aire ABCD = AB x AD = AB²

AB = b -  a  

Les points C et D ont la même ordonnée : sin(a) = sin(b)

sin(a) = sin(b) → b = π - a

AB = π - a - a = π - 2a

AD = sin(a)

AB = AD (ABCD est un carré) donc

π - 2a = sin(a) soit π -2a - sin(a) = 0

a est la solution de l'équation f(x) = π - 2x -sin(x)

En étudiant cette fonction sur l'intervalle [0;π], la dérivée f'(x) = -2 - cos(x)

f'(x) = -(2 + cos(x)) < 0

sur [0,π], f est continue et strictement décroissante.
f(0) = π - 2*0 - sin(0) = π

f(π) = π - 2π - sin(π) = -π

D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédaires, l'équation f(x)=0 admet une unique solution a  dans l'intervalle [0;π] telle que f(a)= 0.

A la calculatrice, on obtient a ≈ 1,120613

b = π - 1,120613 = π - 1,120613

AB = π - 2*1,120613 = π - 2,241226

Aire ABCD = (π - 2,241226)² ≈ 0,81 u.a.