Bonjour !

C'est une suite à double récurrence linéaire, de la forme [tex]\sf x_{\sf n+2}=ax_{n+1}+bx_n[/tex].

Méthode générale :

• Ecrire l'équation caractéristique : [tex]\sf r^2-ar-b=0[/tex]

• Résoudre l'équation : deux cas

→ Cas n°1: L'équation possède deux racines simples [tex]\sf r_1\ne r_2[/tex] :

Alors [tex]\sf \forall n\in\mathbb{N}, x_n=\lambda r_1^n+\mu r_2^n[/tex] avec [tex]\sf (\lambda, \mu)\in\mathbb{C}^2[/tex].

→ Cas n°2: L'équation possède une racine double [tex]\sf r_0[/tex] :

Alors [tex]\sf \forall n\in\mathbb{N}, x_n=(\lambda n+\mu) r_0^n[/tex] avec [tex]\sf (\lambda, \mu)\in\mathbb{C}^2[/tex].

• Calculer [tex]\sf \lambda[/tex] et [tex]\sf \mu[/tex] avec les conditions initiales.

Il suffit donc d'appliquer cette méthode à notre suite !

L'équation caractéristique est :

[tex]\sf r^2+2n-15=0[/tex]

On résout :

[tex]\sf \Delta = 2^2-4\times1\times(-15)\\\sf \Delta=64[/tex]

⇒ deux solutions réelles

[tex]\sf r _1=\frac{-2+\sqrt{64}}{2}\\\boxed{\sf r_1=3}[/tex]

[tex]\sf r _2=\frac{-2-\sqrt{64}}{2}\\\boxed{\sf r_2=-5}[/tex]

On applique la première formule et on obtient :

[tex]\sf \forall n\in\mathbb{N}, U_n=\lambda 3^n+\mu (-5)^n[/tex] avec [tex]\sf (\lambda, \mu)\in\mathbb{C}^2[/tex].

On va maintenant déterminer les valeurs des constantes [tex]\sf \lambda[/tex] et [tex]\sf \mu[/tex] avec les conditions initiales.

On a :

[tex](*) : \begin{cases}\sf U_0=2=\lambda\times 3^0+\mu\times(-5)^0 \\\sf U_1=4=\lambda\times 3^1+\mu\times(-5)^1 \end{cases}[/tex]

On résout le système :

[tex](*) \iff \begin{cases}\sf 2=\lambda+\mu \\\sf 4=3\lambda\times -5\mu \end{cases}[/tex]

[tex](*) \iff \begin{cases}\sf 2=\lambda+\mu \\\sf 4=3\lambda-5\mu \end{cases}[/tex]

[tex](*) \iff \begin{cases}\sf \lambda=\frac{7}{4} \\\sf \mu=\frac{1}{4} \end{cases}[/tex]

On trouve donc :

[tex]\boxed{\sf U_n=\frac{7}{4}\times 3^n+\frac{1}{4}\times(-5)^n}[/tex]

Bonne journée