Bonsoir,

[tex] \\ [/tex]

• Réponse:

[tex] \Large{\boxed{\displaystyle \int^6_1 \sf x^2 + 3x + 2 \: dx = \dfrac{805}{6} }} [/tex]

[tex] \\ [/tex]

• Explicacations:

Méthode générale pour résoudre une intégrale définie:

[tex] \displaystyle \int^b_a \sf f(x) \: dx = \bigg[ F(x) \bigg]^b_a = F(b) - F(a) [/tex]

Avec F(x), une primitive de f(x).

[tex] \\ [/tex]

[tex] \dotfill [/tex]

[tex] \\ [/tex]

Intégrale définie donnée:

[tex] \displaystyle \int^6_1 \underbrace{\sf x^2 + 3x + 2}_{\sf f(x)} \: \sf dx [/tex]

[tex] \\ [/tex]

Rappel:

[tex] \red{\begin{gathered}\begin{gathered} \\ \boxed { \begin{array}{c c} \\ \red{ \star \: \sf{\boxed{ \sf Primitive \ de \ x^n \text{:}}}} \\ \\ \sf{ \diamond \: \dfrac{x^{n+1}}{n + 1} + C \ \ , n \neq -1} \\ \end{array}}\\\end{gathered} \end{gathered}} [/tex]

[tex] \\ [/tex]

On sait que la primitive d'une somme de fonctions est égale à la somme des primitives des fonctions.

On obtient:

[tex] \sf Primitives \ de \ x^2 = \dfrac{x^{2 + 1}}{2 + 1} + C_1 = \dfrac{x^3}{3} + C_1 \\ \\ \\ \sf Primitives \ de \ 3x = 3 \cdot\dfrac{x^{1 + 1}}{1 + 1} + C_2= \dfrac{3x^2}{2} + C_2 \\ \\ \\ \sf Primitives \ de \ 2 = 2x + C_3 [/tex]

Les constantes d'intégration (C) ne seront pas prises en compte pour notre calcul d'intégrale.

[tex] \\ [/tex]

Ce qui nous donne:

[tex] \displaystyle \int^6_1 \sf x^2 + 3x + 2 \: dx = \bigg[ \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{3x^2}{2} + 2x \bigg]^6_1 \\ \\ \\ \sf = \big(\dfrac{6^3}{3} + \dfrac{3(6)^2}{2} + 2(6) \big) - \big( \dfrac{1^3}{3} + \dfrac{3(1)^2}{2} + 2(1) \big) \\ \\ \\ \sf = 72 + 54 + 12 - \big( \dfrac{1}{3} + \dfrac{3}{2} + 2 \big) \\ \\ \\ \sf = 138 - \dfrac{23}{6} = \dfrac{828}{6} - \dfrac{23}{6} \\ \\ \\ = \boxed{ \boxed{ \sf \dfrac{805}{6} }} [/tex]