Pour démontrer que la suite (un) est croissante, nous pouvons utiliser une preuve par récurrence.

1. Vérifions d'abord la condition de base : u0 = 1. Comme 0 < 1 < 2, la condition est satisfaite.

2. Supposons maintenant que la suite est croissante jusqu'au rang n, c'est-à-dire que un < un+1 pour tout n.

3. Montrons que la suite est croissante au rang n+1 : un+1 < un+2.

un+1 = √2 + un

un+2 = √2 + un+1

Remplaçons un+1 dans l'expression de un+2 :

un+2 = √2 + (√2 + un)

un+2 = 2√2 + un

Maintenant, comparons un+1 et un+2 :

un+1 < un+2

√2 + un < 2√2 + un

Comme √2 < 2√2, nous pouvons conclure que un+1 < un+2.

Par conséquent, la suite (un) est croissante pour tout n.