Réponse :

1) x ∈ [0 ; 40]

2) a) on admet que BNP est rectangle isocèle en P

exprimer la longueur AP en fonction de x

BP = NP = AM = x

AP = AB - BP = 60 - x

   donc  AP = 60 - x

 b) en déduire que l'aire du rectangle APNM est : A(x) = 60 x - x²

A = AM * AP = x *(60 - x) = 60 x - x² (forme 1)

c) justifier que pour tout x ∈ I,  A(x) = 900 - (x - 30)² (forme 2)

         A(x) = - x² + 60 x = - (x² - 60 x) = - (x² - 60 x + 900 - 900)

⇔ - ((x² - 60 x + 900) - 900) ⇔ - ((x - 30)² - 900) ⇔ - (x - 30)² + 900

    donc  A(x) = - (x - 30)² + 900

3) résoudre les deux problèmes posés en introduction

  1) A(x) = 800  ⇔ - (x - 30)² + 900 = 800 ⇔ - (x - 30)² + 100 = 0

⇔ - ((x - 30)² - 100) = 0 ⇔  (x - 30)² - 100 = 0 ⇔  (x - 30)² - 10² = 0

⇔ (x - 30 + 10)(x - 30 - 10) = 0 ⇔ (x - 20)(x - 40) = 0 ⇔ x - 20 = 0

⇔ x = 20  ou x = 40

4) justifier que, pour tout x ∈ I on a  A(x) ≤ 900

pour tout x ∈ [ 0 ; 40]  on a pour x = 0 ⇒ A(0) = 0  et pour = 40 ⇒ A = 800

donc pour tout x ∈ I ; A(x) ≤ 900

A(x) = 900 ⇔ - (x - 30)² + 900 = 900 ⇔ (x - 30)² = 0 ⇔ x = 30  

Explications étape par étape